Схема независимых испытаний Бернулли. Полиноминальное распределение

Предположим, что производятся независимо друг от друга n испытаний, в каждом из которых возможны только 2 исхода: успех и неудача («У»,»Н»). Причём вероятность успеха Р(У)= p, Р(Н)= q, p+q =1.

Определение 10.1. Последовательность испытаний называется испытаниями Бернулли, если эти испытания независимы, в каждом из них возможны 2 исхода, причём вероятности этих исходов не меняются от испытания к испытанию.

В n испытаниях Бернулли элементарным исходом является:

(ω₁, ω₂,…, ω _n), где ω _i {У,Н}, i {1,…, n }.

Всего таких исходов 2 ⁿ. Поскольку испытания независимы, то:

Р(ω₁, ω₂,…, ω _n)= Р(ω₁)P(ω₂)…P(ω _n).

Обозначим через P_n(k) вероятность того, что в n испытаниях Бернулли произошло ровно k успехов. Тогда

P _n (k)=Р{(У,…,У,Н,…,Н),(У,…,У,Н,У,Н,…,Н),…,(Н,…,Н,У,…У)}=

= p^kq^n-k + p^kq^n-k + …+ p^kq^n-k = p^kq^n-k.

Таким образом получим

P _n (k)= p^kq^n-k, k {0,…, n }, p+q =1 – формула Бернулли.

Пример 10.2. Двое равных по силам шахматистов играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть одну партию из двух или две из четырёх? Ничьи во внимание не принимаются.

p=q= , P₂(1)= ∙ ∙ = = ;

P₄(2)= ∙ ()² ∙ ()²=6∙ = ;

Таким образом P₂(1)> P₄(2).

Полиноминальное распределение

Предположим, что производится независимо друг от друга n испытаний, в каждом из которых возможны k исходов E₁, E₂,…, E _k. Вероятность этих исходов обозначим P(E _i)= p_i, i {1,…, k }. Причём =1, k >2.Вероятность того, что в n испытаниях исход E₁ появится r₁ раз, E₂ r₂ раз, …, E₁ – r_k раз, где = n, находится по формуле:

P(r₁, r₂,…, r_k)= … , =1, = n – формула полиноминального распределения.

Замечание 10.3. Формула полиноминального распределения обобщает формулу Бернулли на случай более 2 исходов в каждом испытании.

Пример 10.4. В урне 3 шара: белый, красный, синий. Из урны 5 раз наудачу извлекаются шары с возвращением. Найти вероятность того, что белый шар извлечён 3 раза, а красный и синий –по одному разу.

Поскольку p₁ = p₂ = p₃= ; r₁ =3, r₂ =1, r₃ =1.

Тогда P₅(3, 1,1)= ∙ ()³ ∙ ∙ = 20∙ = = .