Критерий серий, основанный на медиане

35. 3

36. 1

Правильно: 1,4,6,8,9,11,12,13,15,18,20,22,24,25,26,28,30,33,34.

Критерий серий, основанный на медиане

Пусть дана выборка x_i, i = из некоторой генеральной совокупности. Необходимо проверить случайность и независимость элементов выборки. Для этого воспользуемся критерием серий, основанном на медиане /1/, являющимся ранговым.

1-й шаг. Формулирование основной и альтернативной гипотез.
Н₀: элементы выборки x_i, i = являются стохастически независимыми,
H₁: элементы выборки x_i, i = не являются стохастически независимыми.
2-й шаг. Задание уровня значимости a.
3-й шаг. Формирование критической статистики.
Прежде чем определить вид критической статистики, необходимо выполнить следующую последовательность действий.
1. Сформировать из элементов выборки вариационный ряд

х₍₁₎ £ х₍₂₎ £... £ х_(i) £... £ х_(n).

2. Найти оценку медианы,

= х((n+1)/2), если n нечетно,

(46)

= 0.5 [ х(n/2) + х(n/2+1)], если n четно.

(47)

3. В исходной выборке вместо каждого х_(i) будем ставить "+", если х_(i) > , "-", если х_(i) < . Если х_(i) = , то не ставится никакой знак.
Полученная последовательность "+" и "-" может характеризоваться количеством серий n(n) и длиной самой длинной серии t(n). При этом подсерией понимается последовательность подряд идущих "+" или "-". Серия может состоять только из одного "+" или "-". Длина серии – количество подряд идущих "+" или "-".
В данном критерии одновременно рассматривают пару критических статистик (двумерная критическая статистика)

_кр. = {n(n), t(n)}.

Предельное распределение статистики _кр. является двумерным с частными предельными распределениями n(n) и t(n).
4-й шаг. Определение верхней и нижней критических точек распределения осуществляется расчетным путем из выражений

nкр. (n) = ,

(48)

tкр.(n) = 3.3Чlg(n+1),

(49)

где – квантиль нормального распределения уровня .
5-й шаг. Определение расчетных значений критической статистики.
n_расч.(n) определяет количество серий в исходной выборке, а t_расч.(n) – длину самой длинной серии. Если одновременно выполняются условия

nрасч.(n) > nкр.(n), tрасч.(n) < tкр.(n),

(50)

то Н₀ может быть принята с ошибкой первого рода. В противном случае элементы выборки нельзя считать стохастически независимыми.

Критерий серий "восходящих" и "нисходящих" серий

По аналогии с критерием серий, основанном на медиане выборки, в ранговом критерии “восходящих” и “нисходящих” серий также формируется последовательность серий "+" и "-" /1/.
Для этого в исходной выборке из генеральной совокупности x_i, i = на месте i-го элемента ставят "+", если х_i+1 > x_i, и "-", если х_i+1 < x_i. Если х_i+1= x_i, то в серии ничего не проставляется.
Рассмотрим последовательность критерия.

1-й шаг. Формулирование основной и альтернативной гипотез.
Н₀: элементы выборки x_i, i = являются стохастически независимыми,
H₁: элементы выборки x_i, i = не являются стохастически независимыми.
2-й шаг. Задание уровня значимости a.
3-й шаг. Формирование критической статистики.

_кр. = {n(n), t(n)}.

Предельное распределение статистики _кр является двумерным с частными предельными распределениями n(n) и t(n).
4-й шаг. Определение верхней и нижней критических точек

кр.в = n кр(n) = ,

(51)

кр.н = tкр(n) =

5, при n £ 26 6, при 26 < n £ 153 7, при 153 < n £ 1170,

(52)

где – квантиль нормального распределения.
5-й шаг. Вычисление расчетных значений статистик n_расч(n) и t_расч(n).
n_расч(n) – количество серий в последовательности "+" и "-",
t_расч(n) – длина самой длинной серии.
Если одновременно выполняются условия

nрасч(n) > nкр.(n), tрасч(n) < tкр.(n),

(53)

то Н₀ может быть принята с ошибкой первого рода. В противном случае элементы выборки нельзя считать стохастически независимыми.