Ряды Дирихле и их сходимость, гармонический ряд

Определение 1. Числовой ряд вида называется рядом Дирихле с показателем р, R. Заметим, что при получаем ряд , который называется гармоническим.

Пример 1. Исследовать ряд Дирихле на сходимость в зависимости от р.

Решение. 1) В случае, если , члены ряда образуют неубывающую последовательность, а сам ряд расходится по необходимому признаку сходимости ().

2) В случае для исследования сходимости ряда используем интегральный признак Коши. Введём функцию , которая удовлетворяет всем условиям теоремы Коши (теорема 3, лекция 1, разд. 1.5): при она непрерывна, положительна и монотонно убывает, . Вычислим несобственный интеграл в двух случаях а) , б) , т.е. когда :

–Если , , то при , тогда , следовательно, несобственный интеграл расходится и расходится исходный ряд.

–Если , , то при , тогда , следовательно, несобственный интеграл сходится и сходится исходный ряд.

3) В случае имеем гармонический ряд , для которого
также применим интегральный признак Коши, т.е. рассмотрим интеграл , следовательно, несобственный интеграл расходится, а значит, гармонический ряд расходится.

Вывод: ряд Дирихле сходится, если , и расходится, если .