Кинематика теории относительности

Установив соотношения между основными понятиями – длиной и временем, взятыми в разных системах, нетрудно получить и соотношения между кинематическими характеристиками при переходе от одной системы координат к другой. Этот вопрос практически распадается на ряд конкретных задач, из которых мы рассмотрим лишь те, которые будут необходимы при рассмотрении некоторых вопросов, излагаемых в других разделах этого курса лекций.

Задача 1.

В системе К со скоростью u летит птица в направлении движущегося со скоростью u поезда (рис. 5.4). Найти скорость ее движения с точки зрения пассажира.

Решение. Очевидно, что искомая скорость u' есть производная от координаты x' по времени, если вопрос решать классически. В этом случае dx' найдется из второго уравнения преобразований Галилея (5.7):

dx' = dx – u dt, или ,

(5.19)

что окончательно даст:

При решении вопроса в соответствии с положениями теории относительности для нахождения dx' следует воспользоваться релятивистскими преобразованиями (5.8). Находить придется еще и dt из (5.15) (уравнением (5.17) пользоваться нельзя, так как координата x меняется):

; .

(5.21)

Поделив одно равенство на другое, а затем разделив и числитель, и знаменатель на dt, получим:

; или .

(5.22)

Снова заметим, что классический случай (5.20) получается из релятивистского (5.22), если u << с, то есть при движении со скоростью, много меньшей скорости света.

Задача 2.

На рис. 5.5 изображены две системы отсчета, движущиеся относительно друг друга со скоростью u. В одной из них – системе К' – перемещается тело перпендикулярно скорости движения систем. Обозначим скорость его движения через u'_y. Требуется найти u_y – скорость этого же движения, но наблюдаемого из системы К.

Решение. Поскольку изменение координаты y в обеих системах одинаково (dy = dy'), то для получения ответа достаточно воспользоваться лишь уравнением преобразования времени (5.18), где во время движения тела координата x' остается постоянной. Получим:

.

(5.23)