 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Законы теплового излучения абсолютно черного тела
|
|
1. После установления закона Кирхгофа (10.7) стало очевидным, что первоочередная задача теории теплового излучения состоит в нахождении вида функции Кирхгофа, т. е. в выяснении вида зависимости испускательной способности 
абсолютно черного тела от его температуры Т и частоты излучения 
Однако сначала удалось решить более простую задачу — найти зависимость интегральной испускательной способности 
абсолютно черного тела от его температуры. Л. Больцман, применив термодинамический метод к исследованию черного излучения теоретически, показал (1884), что интегральная испускательная способность абсолютно черного тела пропорциональна четвертой степени его абсолютной температуры:
(10.14)
Этот закон получил название закона Стефана — Больцмана, так
как еще в 1879 г. Д. Стефан на основе анализа экспериментальных данных пришел к аналогичному выводу. Однако Стефан ошибочно считал, что интегральная испускательная способность любого тела также пропорциональна четвертой степени его абсолютной температуры. Коэффициент пропорциональности а называется постоянной Стефана — Больцмана. В результате многочисленных экспериментов найдено, что
2. Значительно более сложной оказалась задача отыскания вида функции Кирхгофа 
т. е. выяснение спектрального состава
излучения абсолютно черного тела. Решение этой задачи вышло далеко за рамки теории теплового излучения и сыграло огромную роль во всем дальнейшем развитии физики, так как привело к установлению квантового характера излучения и поглощения энергии атомами и молекулами.
Рис. 10.3
Эксперименты показали, что зависимость от частоты v при разных температурах Т абсолютно черного тела имеет вид, изображенный на рис. 10.3. При малых частотах 
а в области больших частот
(правые ветви кривых вдали от максимумов) зависимость 
от частоты имеет вид
(10.15)
где 
— постоянная величина, выраженная в кельвинах-секундах (К-с). Зависимость (10.15) была установлена В. Вином. Существование на каждой кривой более или менее ярко выраженного максимума свидетельствует о том, что энергия излучения абсолютно черного тела распределена по его спектру неравномерно: абсолютно черное тело почти не излучает энергии в области очень малых и очень больших частот. По мере повышения температуры тела максимум 
смещается в область больших частот. Площадь, ограниченная кривой зависимости 
от v и осью абсцисс, пропорциональна интегральной испускательной способности 
абсолютно черного тела. Поэтому в соответствии с законом Стефана — Больцмана она возрастает пропорционально 
3. Первое теоретическое исследование вида функции Кирхгофа было предпринято московским физиком В. А. Михельсоном (1887). В. Вин рассмотрел (1893) задачу об адиабатическом сжатии черного излучения в цилиндрическом сосуде с подвижным зеркальным поршнем и зеркальными стенками. Приняв во внимание, что вследствие эффекта Доплера частота излучения изменяется при отражении от движущегося поршня, он получил следующее выражение для функции Кирхгофа:
(10.15'}
где 
—функция отношения частоты излучения абсолютно чер-
ного тела к его температуре. Хотя Вину не удалось теоретически установить вид функции 
формула Вина (10.15') позволила
получить ряд очень важных результатов. Например, из (10.15') вытекает закон Стефана — Больцмана:
где с
—постоянный коэффициент (через х обозначено
отношение 
Из закона Вина можно найти зависимость от температуры частоты 
соответствующей максимальному значению испускательной способности 
абсолютно черного тела. При 
частная производная
Из (10.16) следует1, что
(10.17)
Где 
— постоянная величина, являющаяся корнем уравнения (10.16), зависящая от вида функции 
Уравнение (10.17) выражает закон
смещения Вина: частота, соответствующая максимальному значению испускательной способности г* абсолютно черного тела, прямо пропорциональна его абсолютной температуре.
Значения частот 
соответствующие четырем pas'-
личным температурам 
показаны на рис. 10.3.
Обычно закон смещения Вина записывают в несколько иной форме: для максимума испускательной способности абсолютно черного тела
отнесенной к интервалу 
длин волн (в вакууме),
(10.18)
где 
— энергия электромагнитного излучения за единицу вре-
мени с единицы площади поверхности абсолютно черного тела в интервале длин волн от 
до 
Так как, по определению, 
и 
не могут быть отрицательными, то (10.18) и (10.1) следует, что 
Подставляя в (10.19) выражение для 
из формулы закона Вина (10.15'), получаем
(10.20)
Пользуясь выражением (10.20) для функции 
легко показать что длина волны 
, соответствующая максимальному значению ис-пускатсльной способности 
абсолютно черного тела, обратно пропорциональна его абсолютной температуре:
(10.17')
Это другая форма выражения закона смещения Вина, который полностью согласуется с результатами экспериментов. По современным данным, постоянная Вина 
Из закона Вина (10.17')
видно, что при понижении температуры абсолютно черного тела максимум энергии его излучения смещается в область больших длин волн. Становится понятным, почему при понижении температуры светящихся тел в их спектре все сильнее преобладает длинноволновое излучение — белое каление переходит в красное, а затем вообще не воспринимается глазом.
Из формул (10.20) и (10.17') следует, что максимальная испуска-тельная способность 
абсолютно черного тела пропорциональна пятой степени его абсолютной температуры:
(10.21)
Заметим, что испускательные способности 
и, 
связанные соотношением (10.19), не пропорциональны друг другу. Поэтому их максимумы лежат в разных частях спектра, а соответствующие им значения Кт и vm н е связаны соотношением X—с/Ч».
4. Дальнейшее исследование вида функции Кирхгофа методами классической физики предпринималось рядом ученых. Мы остановимся только на результатах исследования Д. Рэлеи и Д. Джинса.
Рэлей получил, что
В дальнейшем Рэлей и Джине уточнили эту формулу, вычислив значение коэффициента пропорциональности:
| 
(10.22)
Формула Рэлея — Джинса (10.22) хорошо согласовалась с данными опытов только в области малых частот излучения. Для больших частот она была явно неверна (рис. 10.4). Формула Рэлея — Джинса противоречила также закону смещения Вина и закону Стефана—Больц-мана: по формуле (10.22) 
монотонно возрастает с ростом частоты, не имея максимума, а интегральная испускательная способность абсолютно черного тела при любой температуре обращается в бесконечность:
)
10.4 (10.22'
Работы Рэлея и Джинса ясно показали, что последовательное применение к л а с с и ч е с к о и физики к исследованию спектрального состава черного излучения дает абсурдные результаты, находящиеся в противоречии с законом сохранения энергии.
Планк выбрал наиболее простую модель излучающей системы (стенок полости) в виде совокупности линейных гармонических осцилляторов (электрических диполей) со всевозможными собственными частотами 
Исходя из того, что в состоянии термодинамического равновесия расход энергии на излучение осцилляторов с собственной частотой 
должен полностью компенсироваться в результате поглощения этими осцилляторами энергии падающего на них излучения, Планк показал (1899), что
(10.23)
Где 
— средняя энергия осциллятора с собственной частотой v. Если бы для ее определения Планк, подобно Рэлею, воспользовался законом классической статистической физики о равном распределении энергии по всем степеням свободы равновесной системы, то он получил бы, что 
, При этом его формула (10.23) совпала бы с (10.22).
Однако Планк пытался найти выражение для 
исходя из термодинамических соотношений. Он был убежден, что между энтропией S осциллятора и его средней энергией должна существовать сравнительно простая связь.
В октябре 1900 г. Планку удалось подобрать такой вид зависимости 
от 
, при котором
(10.24)
где 
и 
— постоянные коэффициенты.
Оказалось, что формула (10.24) блестяще согласуется с результатами экспериментов при всех частотах и температурах. Поэтому следующий основной этап исследования, завершенный Планком в декабре 1900 г., состоял в выяснении физического смысла и теоретическом обосновании столь удачно угаданного им соотношения между энтропией и средней энергией осциллятора. Применив статистический метод Больцмана, Планк вывел искомое соотношение. Однако для этого ему пришлось ввести так называемую квантовую гипотезу, совершенно чуждую классической физике. В классической физике предполагается, что энергия любой системы может изменяться непрерывно, принимая любые сколь угодно близкие значения. Согласно квантовой гипотезе Планка, энергия 
осциллятора может принимать только определенные дискретные значения, равные целому числу элементарных порций — квантов энергии 
' При этом условии средняя энергия осциллятора оказалась равной
Соответственно испускательная способность абсолютно черного тела
(10.25)
Из сопоставления (10.25) с формулой Вина (10.15') следует, что выражение должно зависеть от отношения 
, Поэтому
квант энергии
должен быть пропорционален частоте v:
(10.26)
Где 
—универсальная постоянная1, получившая название постоянной Планка. Окончательное выражение формулы Планка для испу-скательной способности абсолютно черного тела имеет вид
(10.27) -
В области малых частот, т. е. при условии, что квант энергии 
во много раз меньше средней энергии осциллятора, формула Планка совпадает с формулой Рэлея — Джинса. Для доказательства этого разложим 
в ряд:
Если 
л из формулы Планка (10.27) следует формула
Рэлея — Джинса (10.22): 
В области больших часто' 
и единицей в знаменателе формулы (10.27) можно пренебречь по сравнению с 
. Тогда получим формулу
которая совпадает с выражением Вина (10.15), причем 
6. Из формулы Планка легко получить закон Стефана — Больцмана и закон смещения Вина. При этом постоянную Планка можно
выразить через постоянные Стефана — Больцмана и Вина тогда интегральная испускательная способность абсолютно черного тела
h =-6,626176 (36).1034Дж-с.
со
Дата публикования: 2014-10-19; Прочитано: 8059 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
