Основные логические операции

называют «тремя китами машинной логики» (табл. 4.5). Познакомимся с ними подробнее. При записи тех или иных логических выражений используется специальный язык, который принят в математической логике.

Основоположником математической логики является великий немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646– 1716 гг.). Он сделал попытку построить универсальный язык, с помощью которого споры между людьми можно было бы разрешать посредством вычислений. На заложенном Лейбницем фундаменте ирландский математик Джордж Буль построил здание новой науки – математической логики, – которая в отличие от обычной алгебры оперирует не числами, а высказываниями. В честь Д. Буля логические переменные впоследствии назвали булевскими.

Высказывание – это любое утверждение, относительно которого можно сказать истинно оно или ложно, т.е. соответствует оно действительности или нет. Таким образом, по своей сути высказывания фактически являются двоичными объектами и поэтому часто истинному значению высказывания ставят в соответствие 1, а ложному – 0. Например, запись А = 1 означает, что высказывание А истинно.

Высказывания могут быть простыми и сложными. Простые соответствуют алгебраическим переменным, а сложные являются аналогом алгебраических функций. Функции могут получаться путем объединения переменных с помощью логических действий.

Самой простой логической операцией является операция НЕ (по-другому ее часто называют отрицанием, дополнением или инверсией и обозначают NOT X). Результат отрицания всегда противоположен значению аргумента.

Логическая операция НЕ является унарной, т.е. имеет всего один операнд. В отличие от нее, операции И (AND) и ИЛИ (OR) являются бинарными, так как представляют собой результаты действий над двумя логическими величинами.

Логическое И еще часто называют конъюнкцией, или логическим умножением (не правда ли, таблица для этой операции похожа как две капли воды на двоичную таблицу умножения?), а ИЛИ – дизъюнкцией, или логическим сложением.

Операция И имеет результат «истина» только в том случае, если оба ее операнда истинны. Например, рассмотрим высказывание «Для установки ОС Windows 95 требуется процессор не ниже 80386 и не менее 4 Мбайт оперативной памяти». Из него следует, что установка будет успешной только при одновременном выполнении обоих условий: даже если у вас в машине Pentium, но мало ОЗУ (равно как и при 8 Мбайт ОЗУ процессор 80286), Windows 95 работать откажется.

Операция ИЛИ «менее привередлива» к исходным данным. Она дает «истину», если значение «истина» имеет хотя бы один из операндов. Разумеется, в случае, когда справедливы оба аргумента одновременно, результат по-прежнему истинный. Действительно, когда студентка просит друга подарить ей на день рождения букет цветов или пригласить в кафе, можно без опасений сделать и то, и другое одновременно (впрочем, на практике в таком случае можно ограничиться чем-то одним). Таблица 4.6 Дополнительные логические

операции

Приведенные в табл. 4.5 значения переменных для операции логических операций называются таблицами истинности. В них указываются все возможные комбинации логических переменных X и Y, а также соответствующие им результаты операций. Таблица истинности может рассматриваться в качестве одного из способов задания логической функции.

Операции И, ИЛИ, НЕ образуют полную систему логических операций, из которой можно

построить сколь угодно сложное логическое выражение.

В вычислительной технике также часто используется операция исключающее ИЛИ (XOR), которая отличается от обыкновенного ИЛИ только при X = 1 и Y = 1. Как видно из табл. 4.6, операция XOR фактически сравнивает на совпадение два двоичных разряда. Хотя теоретически основными базовыми логическими операциями всегда называют именно И, ИЛИ, НЕ, на практике по технологическим причинам в качестве основного логического элемента используется элемент И-НЕ (последняя колонка в табл. 4.6).

Можно проверить, что на базе элементов И-НЕ могут быть скомпонованы все базовые логические элементы (И, ИЛИ, НЕ), а значит и любые другие, более сложные.