Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Решение типовых задач. 1. Оценить следующую структурную модель на идентификацию:



Пример 1. Требуется:

1. Оценить следующую структурную модель на идентификацию:

,

,

.

2. Исходя из приведенной формы модели уравнений

,

,

,

найти структурные коэффициенты модели.

Решение:

1. Модель имеет три эндогенные (y1, y2, y3) и три экзогенные (x1, x2, x3) переменные.

Проверим каждое уравнение системы на необходимые (H) и достаточное (Д) условия идентификации.

Первое уравнение:

Н: эндогенных переменных – 2 (y1, y3),

отсутствующих экзогенных – 1 (x2).

Выполняется необходимое равенство: 2=1+1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Д: в первом уравнении отсутствуют y2 и x2. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

Уравнение Отсутствующие переменные
y2 x2
Второе -1 a22
Третье b32  

.

Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2; следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и первое уравнение точно идентифицируемо.

Второе уравнение:

Н: эндогенных переменных – 3 (y1, y2, y3),

отсутствующих экзогенных – 2 (x1, x3).

Выполняется необходимое равенство: 3=2+1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Д: во втором уравнении отсутствуют x1 и x3. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

Уравнение Отсутствующие переменные
x1 x3
Первое a11 a13
Третье a31 a33

.

Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2; следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и второе уравнение точно идентифицируемо.

Третье уравнение:

Н: эндогенных переменных – 2 (y2, y3),

отсутствующих экзогенных – 1 (x2).

Выполняется необходимое равенство: 2=1+1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Д: в третьем уравнении отсутствуют y1 и x2. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

Уравнение Отсутствующие переменные
y1 x2
Первое -1 0
Второе B21 a22

.

Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2; следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и третье уравнение точно идентифицируемо.

Следовательно, исследуемая система точно идентифицируема и может быть решена косвенным методом наименьших квадратов.

2. Вычислим структурные коэффициенты модели:

1) из третьего уравнения приведенной формы выразим x2 (так как его нет в первом уравнении структурной формы):

.

Данное выражение содержит переменные y3, x1 и x3, которые нужны для первого уравнения структурной формы модели (СФМ). Подставим полученное выражение x2 в первое уравнение приведенной формы модели (ПФМ):

Þ – первое уравнение СФМ;

2) во втором уравнении СФМ нет переменных x1 и x3. Структурные параметры второго уравнения СФМ можно будет определить в два этапа:

Первый этап: выразим x1 в данном случае из первого или третьего уравнения ПФМ. Например, из первого уравнения:

.

Подстановка данного выражения во второе уравнение ПФМ не решило бы задачу до конца, так как в выражении присутствует x3, которого нет в СФМ.

Выразим x3 из третьего уравнения ПФМ:

.

Подставим его в выражение x1:

;

.

Второй этап: аналогично, чтобы выразить x3 через искомые y1, y3 и x2, заменим в выражении x3 значение x1 на полученное из первого уравнения ПФМ:

.

Следовательно, .

Подставим полученные x1 и x3 во второе уравнение ПФМ:

Þ

– второе уравнение СФМ.

Это уравнение можно получить из ПФМ иным путем. Суммируя все уравнения, получим

,

,

Далее из первого и второго уравнений ПФМ исключим x1, домножив первое уравнение на 3, а второе – на (-2) и просуммировав их:

,

Затем аналогичным путем из полученных уравнений исключаем x3, а именно:

½-26,

½ 17,

,

, Þ

Þ ;

3) из второго уравнения ПФМ выразим x2, так как его нет в третьем уравнении СФМ: .

Подставим полученное выражение в третье уравнение ПФМ:

Þ – третье уравнение СФМ.

Таким образом, СФМ примет вид:

,

,

.

Глава 6
Временные ряды в эконометрических исследованиях

Основные понятия и определения.

Модели, построенные по данным, характеризующим один объект за ряд последовательных моментов (периодов), называются моделями временных рядов.

Временной ряд – это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов.

Каждый уровень временного ряда формируется из трендовой (T), циклической (S) и случайной (E) компонент.

Модели, в которых временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, - аддитивные модели, как произведение – мультипликативные модели временного ряда.

Аддитивная модель имеет вид: Y=T+S+E;

мультипликативная модель: Y=T × S × E.

Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений T, S и E для каждого уровня ряда.

Построение модели включает следующие шаги:

1) выравнивание исходного ряда методом скользящей средней;

2) расчет значений сезонной компоненты S;

3) устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных в аддитивной (T+E) или в мультипликативной(T × E) модели;

4) аналитическое выравнивание уровней (T+E) или (T × E) и расчет значений T с использованием полученного уравнения тренда;

5) расчет полученных по модели значений (T+S) или (T × S);

6) расчет абсолютных и/или относительных ошибок.

Автокорреляция уровней ряда – это корреляционная зависимость между последовательными уровнями временного ряда:

, где ; – коэффициент автокорреляции уровней ряда первого порядка;

, где ; – коэффициент автокорреляции уровней ряда второго порядка.

Формулы для расчета коэффициентов автокорреляции старших порядков легко получить из формулы линейного коэффициента корреляции.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда, а график зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) – коррелограммой.

Построение аналитической функции для моделирования тенденции (тренда) временного ряда называют аналитическим выравниванием временного ряда. Для этого чаще всего применяются следующие функции:

· линейная ;

· гипербола ;

· экспонента ;

· степенная функция ;

· парабола второго и более высоких порядков .

Параметры трендов определяются обычным МНК, в качестве независимой переменной выступает время t=1,2,…,n, а в качестве зависимой переменной – фактические уровни временного ряда yt. Критерием отбора наилучшей формы тренда является наибольшее значение скорректированного коэффициента детерминации .

При построении моделей регрессии по временным рядам для устранения тенденции используются следующие методы.

Метод отклонений от тренда предполагает вычисление трендовых значений для каждого временного ряда модели, например и , и расчет отклонений от трендов: и . Для дальнейшего анализа используются не исходные данные, а отклонения от тренда.

Метод последовательных разностей заключается в следующем: если ряд содержит линейный тренд, тогда исходные данные заменяются первыми разностями ; если параболический тренд – вторыми разностями .

В случае экспоненциального и степенного тренда метод последовательных разностей применяется к логарифмам исходных данных.

Модель, включающая фактор времени, имеет вид . Параметры a и b этой модели определяются обычным МНК.

Автокорреляция в остатках – корреляционная зависимость между значениями остатков за текущий и предыдущие моменты времени.

Для определения автокорреляции остатков используют критерий Дарбина – Уотсона и расчет величины: 0£d£4.

Коэффициент автокорреляции остатков первого порядка определяется по формуле: -1£ 1.

Критерий Дарбина – Уотсона и коэффициент автокорреляции остатков первого порядка связаны соотношением .

Эконометрические модели, содержащие не только текущие, но и лаговые значения факторных переменных, называются моделями с распределенным лагом.

Модель с распределенным лагом в предложении, что максимальная величина лага конечна, имеет вид .

Коэффициент регрессии b0 при переменной xt характеризует среднее абсолютное изменение yt при изменении xt на 1 ед. своего измерения в некоторый фиксированный момент времени t, без учета воздействия лаговых значений фактора x. Этот коэффициент называют краткосрочным мультипликатором.

В момент (t+1) воздействие факторной переменной xt на результат yt составит (b0 + b1)условных единиц; в момент времени (t+2) воздействие можно охарактеризовать суммой (b0 + b1 + b2) и т.д. Эти суммы называют промежуточными мультипликаторами. Для максимального лага (t+l) воздействие фактора на результат описывается суммой (b0 + b1 +…+ bt=b), которая называется долгосрочным мультипликатором.

Величины , , называются относительными коэффициентами модели с распределенным лагом. Если все коэффициенты bj имеют одинаковые знаки, то для любого j 0<bj<1 и .

Величина среднего лага модели множественной регрессии определяется по формуле средней арифметической взвешенной и представляет собой средний период, в течение которого будет происходить изменение результата под воздействием изменения фактора в момент t.

Медианный лаг – это период, в течение которого с момента времени t будет реализована половина общего воздействия фактора на результат:

,

где – медианный лаг.

Оценку параметров моделей с распределенными лагами можно проводить согласно одному из двух методов: методу Койка или методу Алмон.

В распределении Койка делается предположение, что коэффициенты при лаговых значениях объясняющей переменной убывают в геометрической прогрессии: , где l = 0,1,2,…, 0<l<1.

Уравнение регрессии преобразуется к виду

.

После несложных преобразований получаем уравнение, оценки параметров исходного уравнения.

В методе Алмон предполагается, что веса текущих и лаговых значений объясняющих переменных подчиняются полиномиальному распределению:

.

Уравнение регрессии примет вид ,

где , i = 1,…, k; j = 1,…, p.

Расчет параметров модели с распределенным лагом методом Алмон проводится по следующей схеме:

1) устанавливается максимальная величина лага l;

2) определяется степень полинома k, описывающего структуру лага;

3) рассчитываются значения переменных z0,..,zk;

4) определяются параметры уравнения линейной регрессии yt от zi;

5) рассчитываются параметры исходной модели с распределенным лагом.

Модели, содержащие в качестве факторов лаговые значения зависимой переменной, называют моделями авторегрессии, например:

.

Как и в модели с распределенным лагом, b0 в этой модели характеризует краткосрочное изменение yt под воздействием изменения xt на 1 ед. Долгосрочный мультипликатор в модели авторегрессии рассчитывается как сумма краткосрочного и промежуточных мультипликаторов:

.

Такая интерпретация коэффициентов модели авторегрессии и расчет долгосрочного мультипликатора основаны на предпосылке о наличии бесконечного лага в воздействии текущего значения зависимой переменной на ее будущие значения.





Дата публикования: 2014-10-19; Прочитано: 5940 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.023 с)...