CES-функция

Обобщение ПФКБ может вестись в различных направлениях. Наиболее известным обобщением является функция CES, или ПЭЗ, - функция с постоянной эластичностью замещения. Эластичность замещения σ – это мера «кривизны» изоквант (линий уровня) ПФ.

«Кривизну» измеряет величина . Эластичность замещения труда капиталом показывает, на сколько процентов изменится капиталовооруженность при изменении предельной нормы замены труда капиталом на 1%. Величина показывает относительное изменение тангенса угла наклона линии уровня в расчете на единицу отношения .

Линейная ПФ имеет нулевую «кривизну» и, соответственно, бесконечную эластичность замещения у. Функция Кобба-Дугласа имеет эластичность замещения, равную единице. В реальной экономике степень взаимозаменяемости ресурсов может быть различной, соответственно различной (а не только нулевой, бесконечной или единичной) может быть и эластичность замещения. Это ставит задачу оценки более общих формул ПФ, в частности ПФ с постоянной, но произвольной эластичностью замещения. Такая функция (функция CES) описывается формулой

,

где р≥-1; п>0 - степень однородности; А>0; 0<u<1.

Эластичность замещения для такой функции равна . Если р = -1, то получаем функцию с линейными изоквантами, при р→0 в пределе получаем ПФ Кобба-Дугласа, при р→∞ - ПФ Леонтьева.

Глава 5
Система линейных одновременных уравнений

Основные понятия и определения.

Сложные экономические процессы описывают с помощью системы взаимосвязанных (одновременных) уравнений.

Различают несколько видов систем уравнений:

· система независимых уравнений – когда каждая зависимая переменная y рассматривается как функция одного и того же набора факторов x:

,

,

…………………………………..

.

Для решения этой системы и нахождения ее параметров используется метод наименьших квадратов;

· система рекурсивных уравнений – когда зависимая переменная y одного уравнения выступает в виде фактора x в другом уравнении:

,

,

,

………………………………………………….

.

Для решения этой системы и нахождения ее параметров используется метод наименьших квадратов;

· система взаимосвязанных (совместных) уравнений – когда одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других – в правую:

,

,

………………………………………………………………..

.

Такая система уравнений называется структурной формой модели.

Эндогенные переменные – взаимозависимые переменные, которые определяются внутри модели (системы) y.

Экзогенные переменные – независимые переменные, которые определяются вне системы x.

Предопределенные переменные – экзогенные и лаговые (за предыдущие моменты времени) эндогенные переменные системы.

Коэффициенты a и b при переменных – структурные коэффициенты модели.

Система линейных функций эндогенных переменных от всех предопределенных переменных системы – приведенная форма модели:

,

,

……………………………….

,

где d – коэффициенты приведенной формы модели.

Необходимое условие идентификации – выполнение счетного правила:

D+1=H – уравнение идентифицируемо;

D+1<H – уравнение неидентифицируемо;

D+1>H – уравнение сверхидентифицируемо,

где H – число эндогенных переменных в уравнении;

D – число предопределенных переменных, отсутствующих в уравнении, но присутствующих в системе.

Достаточное условие идентификации – определитель матрицы, составленной из коэффициентов при переменных, отсутствующих в исследуемом уравнении, не равен нулю, и ранг этой матрицы не менее числа эндогенных переменных системы без единицы.

Для решения идентифицируемого уравнения применяется косвенный метод наименьших квадратов, для решения сверхидентифицированных – двухшаговый метод наименьших квадратов.

Косвенный МНК состоит в следующем:

· составляют приведенную форму модели и определяют численные значения параметров каждого ее уравнения обычным МНК;

· путем алгебраических преобразований переходят от приведенной формы к уравнениям структурной формы модели, получая тем самым численные оценки структурных параметров.

Двухшаговый МНК заключается в следующем:

· составляют приведенную форму модели и определяют численные значения параметров каждого ее уравнения обычным МНК;

· выявляют эндогенные переменные, находящиеся в правой части структурного уравнения, параметры которого определяют двухшаговым МНК, и находят расчетные значения по соответствующим уравнениям приведенной формы модели;

· обычным МНК определяют параметры структурного уравнения, используя в качестве исходных данных фактические значения предопределенных переменных и расчетные значения эндогенных переменных, стоящих в правой части данного структурного уравнения.