Тригонометрические уравнения

Простейшие тригонометрические уравнения - это уравнения вида sin x = a,

cos x = a, tg x = a и ctg x = a. Каждое из таких уравнений решается по формулам, которые следует знать. Вот эти формулы:

(sin x = a) Û (х = arcsin a + 2p n или х = p - arcsin a + 2p n; n Î Z);

(cos x = a) Û (х = arccos a + 2p n или х = - arccos a + 2p n; n Î Z);

(tg x = a) Û (х = arctg a + p n; n Î Z);

(ctg x = a) Û (х = arcctg a + p n; n Î Z).

Задание 44. Решите по формулам следующие уравнения:

1) sin x = ; 2) cos x = - ; 3) tg x = ; 4) ctg x = - 1.

Задание 45. Докажите формулы решения простейших тригонометрических уравнений, используя определения синуса и косинуса, а также линии тангенса и котангенса.

Задание 46 Проверьте, что если в последнюю формулу подставить четное n, то получится первая часть выведенной нами сложной формулы, а если подставить нечетное n, то получится ее вторая часть.

Из простейших тригонометрических уравнений можно выделить восемь, так сказать, наипростейших, которые надо решать устно. Вот эти уравнения и их решение

1) sin x = 0 Û x = ; 2) sin x = 1 Û x = + 2 ; 3) sin x = - 1 Û x = - + 2 ;

4) cos x = 0 Û x = + ; 5) cos x = 1 Û x = 2 ; 6) cos x = -1 Û x = + 2 ;

7) tg x = 0 Û x = ; 8) ctg x = 0 Û x = + .

Задание 47. Решите уравнения:

2sin x + 1 = 0; 2cos² x + cos x- 1 = 0; (tg 2x + 1)(3ctg² x - 5ctg x - 8) = 0.

Задание 48. Докажите формулы:

(sin y = sin z) Û (y = z + 2p n или у = p - z + 2p n);

(cos y = cos z)Û (y = ± z + 2p n);

(tg y = tg z) Û (y = z + p n);

(ctg y = ctg z) Û (y = z + p n).

Задание 49. Решите по этим формулам уравнения:

sin x + sin 3x = 0, cos x - cos = 0; tg x + tg 2x = 0; ctg 4x + ctg x = 0.

Задание 50. Решите уравнения:

1) cos² 2x + cos² x - sin² x = 0;

2) sin x cos x + 3sin x + cos² x + 3cos x = 0;

3) sin² 3x + 2cos² 3x + 4cos x - 6 = 0;

4) tg 2x + ctg 2x = 2.

Домашнее задание: Виленкин, Алгебра 10, №№ 634-667, 675-678.

Таблица значений тригонометрических функций

o	sin	cos	tg	ctg
	0,000	1,000	0,000	не существует
	0,017	0,9998	0,017	57,290
	0,035	0,9994	0,035	28,636
	0,052	0,9986	0,052	19,081
	0,070	0,998	0,070	14,301
	0,087	0,996	0,087	11,430
	0,105	0,995	0,105	9,514
	0,122	0,993	0,123	8,144
	0,139	0,990	0,141	7,115
	0,156	0,988	0,158	6,314
	0,174	0,985	0,176	5,671
	0,191	0,982	0,194	5,145
	0,208	0,978	0,213	4,705
	0,225	0,974	0,231	4,331
	0,242	0,970	0,249	4,011
	0,259	0,966	0,268	3,732
	0,276	0,961	0,287	3,487
	0,292	0,956	0,306	3,271
	0,309	0,951	0,325	3,078
	0,326	0,946	0,344	2,904
	0,342	0,940	0,364	2,747
	0,358	0,934	0,384	2,605
	0,375	0,927	0,404	2,475
	0,391	0,921	0,424	2,356
	0,407	0,914	0,445	2,246
	0,423	0,906	0,466	2,145
	0,438	0,899	0,488	2,050
	0,454	0,891	0,510	1,963
	0,469	0,883	0,532	1,881
	0,485	0,875	0,554	1,804
	0,500	0,866	0,577	1,732
	0,515	0,857	0,601	1,664
	0,530	0,848	0,625	1,600
	0,545	0,839	0,649	1,540
	0,559	0,829	0,675	1,483
	0,574	0,819	0,700	1,428
	0,588	0,809	0,727	1,376
	0,602	0,799	0,754	1,327
	0,616	0,788	0,781	1,280
	0,629	0,777	0,810	1,235
	0,643	0,766	0,839	1,192
	0,656	0,755	0,869	1,150
	0,669	0,743	0,900	1,111
	0,682	0,731	0,933	1,072
	0,695	0,719	0,966	1,036
	0,707	0,707	1,000	1,000