Тригонометрические уравнения

Простейшие тригонометрические уравнения - это уравнения вида sin x = a,

cos x = a, tg x = a и ctg x = a. Каждое из таких уравнений решается по формулам, которые следует знать. Вот эти формулы:

(sin x = a) Û (х = arcsin a + 2p n или х = p - arcsin a + 2p n; n Î Z);

(cos x = a) Û (х = arccos a + 2p n или х = - arccos a + 2p n; n Î Z);

(tg x = a) Û (х = arctg a + p n; n Î Z);

(ctg x = a) Û (х = arcctg a + p n; n Î Z).

Задание 44. Решите по формулам следующие уравнения:

1) sin x = ; 2) cos x = - ; 3) tg x = ; 4) ctg x = - 1.

Задание 45. Докажите формулы решения простейших тригонометрических уравнений, используя определения синуса и косинуса, а также линии тангенса и котангенса.

Задание 46 Проверьте, что если в последнюю формулу подставить четное n, то получится первая часть выведенной нами сложной формулы, а если подставить нечетное n, то получится ее вторая часть.

Из простейших тригонометрических уравнений можно выделить восемь, так сказать, наипростейших, которые надо решать устно. Вот эти уравнения и их решение

1) sin x = 0 Û x = ; 2) sin x = 1 Û x = + 2 ; 3) sin x = - 1 Û x = - + 2 ;

4) cos x = 0 Û x = + ; 5) cos x = 1 Û x = 2 ; 6) cos x = -1 Û x = + 2 ;

7) tg x = 0 Û x = ; 8) ctg x = 0 Û x = + .

Задание 47. Решите уравнения:

2sin x + 1 = 0; 2cos² x + cos x- 1 = 0; (tg 2x + 1)(3ctg² x - 5ctg x - 8) = 0.

Задание 48. Докажите формулы:

(sin y = sin z) Û (y = z + 2p n или у = p - z + 2p n);

(cos y = cos z)Û (y = ± z + 2p n);

(tg y = tg z) Û (y = z + p n);

(ctg y = ctg z) Û (y = z + p n).

Задание 49. Решите по этим формулам уравнения:

sin x + sin 3x = 0, cos x - cos = 0; tg x + tg 2x = 0; ctg 4x + ctg x = 0.

Задание 50. Решите уравнения:

1) cos² 2x + cos² x - sin² x = 0;

2) sin x cos x + 3sin x + cos² x + 3cos x = 0;

3) sin² 3x + 2cos² 3x + 4cos x - 6 = 0;

4) tg 2x + ctg 2x = 2.

Домашнее задание: Виленкин, Алгебра 10, №№ 634-667, 675-678.

Таблица значений тригонометрических функций