Свойства тригонометрических функций

Задача 22. Докажите что синус, косинус, тангенс и котангенс числа х являются функциями.

Задача 23. Установите область определения каждой из четырех тригонометрических функций: D (sin x), D (cos x), D (tg x) и D (ctg x).

Задача 24. Установите область значений каждой из четырех тригонометрических функций: Е (sin x), Е (cos x), Е (tg x) и Е (ctg x).

Прежде чем двигаться дальше, мы должны будем учесть два особых свойства тригонометрических функций, почти не встречавшихся нам до сих пор - их периодичность и их четность (нечетность).

Определение. Функция у = f (x) называется периодической, а число Т ¹ 0 называется ее периодом, если для каждого числа х, входящего в область определения этой функции, выполняются равенства f (x) = f (x + Т) = f (x- Т).

Задание 27. Приведите примеры периодических функций из числа изученных вами вне курса тригонометрии.

Задание 28. Объясните, почему в определении периодической функции было бы недостаточно потребовать выполнения равенства f (x) = f (x + Т).

Задание 29. Докажите, что квадратичная функций не является периодической.

Задача 25. Докажите, что все четыре тригонометрические функции периодические и имеют периодом число 2p.

Задача 26. Докажите, что функции y = sin x и y = соs x не имеют положительного периода, меньшего числа 2p..

Задача 27. Докажите, что функции y = tg x и y = сtg x имеют наименьшим положительным периодом число p.

Периодичность тригонометрических функций позволяет провести их исследование на каком-либо участке длиной в период, а затем распространить полученные результаты на другие участки области определения.

Еще более упрощается задача исследования тригонометрических функций ввиду их четности (нечетности).

Определение. Функция у = f (x) называется четной (или нечетной), если ее область определения симметрична относительно числа 0 и если для каждого числа х, входящего в область определения этой функции, выполняется равенство f (- x) = f (x) (или f (- x) =- f (x)).

Задание 30. Приведите примеры четных и нечетных функций из числа изученных вами вне курса тригонометрии. Приведите пример функции, не являющейся ни четной, ни нечетной. Какая функция является и четной, и нечетной одновременно?

Задача 28. Докажите, что график четной функции симметричен относительно оси ординат.

Задача 29. Докажите, что график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Задача 30. Докажите, что косинус является четной функцией, а синус, тангенс и котангенс - нечетными функциями.

Четность (нечетность) тригонометрических функций позволяет провести их исследование лишь в первой четверти, а затем распространить результаты на всю область определения.

Функция синус

Начнем с функции y = sin x. Исследуем ее знак, монотонность и выпуклость на отрезке .

Задание 31. Установите знак синуса на отрезке .

Задание 32. Установите монотонность синуса на отрезке .

Чтобы доказать, что синус выпуклый вверх на отрезке , снова возьмем х ₁ и х ₂из этого отрезка такие, что х ₁ < х ₂, и докажем, что >

Задание 33. Постройте график синуса на отрезке , используя опорные точки (0; 0), , , и .

Задание 34. Постройте график синуса на отрезке .

Задание 35. Постройте график синуса на отрезке длиной в период синуса.

Задание 36. Постройте график синуса на всей области определения..

График функции синус называется синусоидой.

Имея строго обоснованный график синуса, мы можем окончательно сформулировать все свойства функции у = sin x:

Область определения: (-∞;+∞).