Свойства матрицы перехода

Свойство 1. При матрица перехода является единичной.

Свойство 2. Матрица перехода Ф (t,t₀) ‑ удовлетворяет исходному дифференциальному уравнению, т.к она состоит из его решений.

С использованием матрицы перехода решение однородного уравнения (4.1) запишем в виде

где - вектор коэффициентов.

Таким образом, C= x ₀ (t) ‑ вектор начальных условий.

Общее решение ОДУ:

x (t)= F (t, t₀) x (t₀)

Замечание относительно обозначения элементов матрицы F (t,t₀):

Элемент φ_ij - i^-ое решение при единичных начальных условиях по j^-й координате

Свойство 3. Матрица перехода не вырождена.

det(F (t, t₀) ¹ 0 на интервале [ t ₀, ¥)

Это свойство вытекает из формулы Лиувиля для вычисления определителя матрицы:

Для доказательства формулы необходимо воспользоваться правилом вычисления производной от определителя матрицы:

Что и требовалось доказать.

Свойство 4. К переходной матрице применимо правило композиции.

F (t₂,t₀) = F (t₂,t₁) F (t₁,t₀)

x (t₁) = F (t₁,t₀) x (t₀)

x (t₂) = F (t₂,t₁) x (t₁) = F (t₂,t₁) F (t₁,t₀) x (t₀)

Это свойство вытекает из единственности решения дифференциального уравнения.

Свойство 5. Изменение порядка аргументов эквивалентно обращению.

F (t₀,t₁) = F^{- 1} (t₁,t₀)

Доказательство следует из свойства 4, если t₂ заменить на t₀:

F (t₀,t₀) = F (t₀,t₁) F (t₁,t₀) = I

Свойство 6. Матрица перехода как функция второго аргумента t ₀ является решением сопряженного уравнения.

Эти уравнения используются в теории оптимального управления для решения в обратном времени, чтобы определить дополнительные начальные условия или начальное положение.