Последовательность расчёта

1. Изобразить в масштабе длин заданную расчётную схему рамы с указанием размеров и нагрузок.

2. Определить степень статической неопределимости рамы по формуле: n_ст. = 3К – Ш, где К – количество замкнутых контуров, Ш – количество простых шарниров, включая опорные.

3. Выбрать две статически определимые и геометрически неизменяемые основные системы. По направлению удалённых «лишних» связей приложить неизвестные реакции: Х₁, Х₂ …. Х_n. Одну основную систему использовать для расчёта, другую – для деформационной проверки.

4. Записать в общем виде систему канонических уравнений метода сил для данной расчётной схемы.

5. Расчётную схему выбранной основной системы последовательно загрузить единичными безразмерными силами, приложив их по предполагаемому направлению удалённых связей, а также заданной нагрузкой. Построить эпюры моментов М₁⁰, М₂⁰,…. М_n⁰ и М_F⁰, предварительно определив для каждой схемы опорные реакции.

Рис.3.1. Схемы заданий к задаче № 3.1. РГР № 3.

6. Определить коэффициенты при неизвестных системы канонических уравнений (m – число участков интегрирования).

δ_ik = ,

7. Определить свободные члены системы канонических уравнений.

Δ_i^F = .

8. Найденные значения δ_ik и Δ_i^F подставить в канонические уравнения и решить их, определив значения Х_i.

9. Построить эпюры изгибающих моментов от найденных значений реакций Х_i. Для этого надо все ординаты эпюр М_i⁰ умножить на соответствующую величину Х_i (М₁⁰ Х₁, М₂⁰ Х₂ ….).

10. Построить эпюру изгибающих моментов для заданной расчётной схемы, воспользовавшись принципом независимости действия сил:

М = М₁⁰ Х₁ + М₂⁰ Х₂ + …+ М_n⁰ Х_n + М_F⁰.

11. Проверить равновесие узлов.

12. Выполнить деформационную проверку расчёта. Для этого использовать вторую, выбранную ранее основную систему. Построить эпюры изгибающих моментов (любую единичную эпюру изгибающих моментов, не подобную М₁⁰, М₂⁰,…. М_n⁰) или эпюру = от одновременного действия всех единичных сил, приложенных по направлению удалённых связей. При правильно выполненном расчёте должно быть выполнены условия, смысл которых заключается в том, что перемещения по направлению удалённых связей должны быть равны нулю:

= 0 или = 0.

13. Построить эпюру поперечных сил Q в заданной расчётной схеме, используя дифференциальную зависимость Q = .

14. Построить эпюру продольных сил N. Значения продольных сил определить, рассматривая условия равновесия узлов рамы. К вырезанным узлам приложить известные поперечные силы, продольные силы и нагрузки и определить неизвестные продольные силы.

15. Определить опорные реакции, используя все эпюры.

16. Выполнить статическую проверку всей системы: Σ X =0; Σ Y =0; Σ M_c =0, где с – любая точка.

Пример расчёта: Задача 3.1.

Рассчитать статически неопределимую раму методом сил.

• Определяем степень статической неопределимости рамы по формуле:

n_ст. = 3К – Ш = 3*2 - 4 = 2.

• Выбираем две статически определимые и геометрически неизменяемые основные системы. Одну для расчёта, другую для проверки.

Рис.3.1.1. Схема рамы.

Основная система для расчёта Основная система для проверки Рис.3.1.2.

• Записываем систему канонических уравнений метода сил:

δ₁₁ X ₁ + δ₁₂ X ₂ + Δ _1F = 0;

δ₂₁ X₁ + δ₂₂ X₂ + Δ _2F = 0.

• Строим эпюры моментов М₁⁰ от Х₁ =1, М₂⁰ от Х₂ =1и М_F⁰, предварительно определив для каждой схемы опорные реакции.

• Определяем коэффициенты при неизвестных и свободные члены системы канонических уравнений.

δ_{1 1} = = ( 0.5·6 0.5 + 0.75·3·0.75 + 1·3 1 + (2·0.5·0.5 + 2·0.75·0.75 +2·0.75·0.5) + 0.5·2 0.5·2 + 1·4 1) = ;

δ₁₂ = δ₂₁ = = ( 0.5·6·0.667 + 0.75·3 0.25+ (2·0.75·0.25+ 2·0.5·0.5+0.75·0.5+0.25·0.5) +0.1667) = ;

δ₂₂ = = (0.5+0.1667+ (1·1+0.5·0.5+4·0.75·0.75)) = ;

Рис.3.1.3.

Δ _1F = = (- 0.5·6 36.75 - 0.75·3 25.125 - (2·25.125·0.75 + 2·0.5·36.75 +36.75·0.75 +0.5·25.125) + 4·0.5·3.375 - 0.5·2 36.75·2) = м;

Δ _2F = = (- 36.75·6·0.667 - 25.125·3 0.25 - (2·0.5·36.75 +2·0.25·25.125 +25.125·0.5 +0.25·36.75) - 36.75· 0.5·2 = - м.

X ₁ + X ₂ + = 0; X ₁ = 19.217 кн·м

X₁ + X₂ + = 0. X ₂ = 21.2 кн·м

• Строим эпюры М₁⁰ Х₁ и М₂⁰ Х₂ .

Рис.3.1.4.

• Строим эпюру изгибающих моментов в заданной системе.

М = М₁⁰ Х₁ + М₂⁰ Х₂ + М_F⁰.

Рис.3.1.5.

• Выполняем деформационную проверку, построив во второй основной системе единичную эпюру моментов.

Рис.3.1.6.

= (2·2·16.54 - 2·4·21.199 + 4·16.54 – 21.199·2) + 1·3 5.412 + (2·2·16.54 +2·1·5.412 +1·16.54 +2·5.412) ·+ 2·2 16.54 = -79.67 +79.64 = 0.03. % ошибки: 100% = 0.04% < 1%.

• Строим эпюру Q в заданной расчётной схеме, используя дифференциальную зависимость Q = .

Рис.3.1.7.

Рис.3.1.8.

• Строим эпюру продольных сил N. Значения продольных сил определяем, рассматривая условия равновесия узлов рамы.

• Определяем опорные реакции, используя все эпюры.

Рис.3.1.9.

• Выполняем статическую проверку всей системы:

Σ X =0; 10 – 6.29 – 1.804 -10.906 + 3·3 = 0;

Σ Y =0; 4.804 +3.466 – 8.27 = 0;

Σ M_c =0;10·4.5 +(6.29+1.804+10.906)*1.5 +3.466*4 –8.27*8 –21.199 = 0.005 ≈ 0.