Решение типового примера. Даны координаты вершин пирамиды ABCD: А(2;1;0);В(3;-1;2), С(13;3;10), D(0;1;4)

Даны координаты вершин пирамиды ABCD: А(2;1;0);В(3;-1;2), С(13;3;10), D(0;1;4). Требуется: 1)записать векторы , , и в системе орт и найти модули этих векторов; 2)найти угол между векторами и ; 3) найти площадь грани АВС; 4) найти объем пирамиды ABCD; 5) уравнение плоскости Q, проходящей через точки А, В, и С; 6) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D перпендикулярно плоскости Q,; 7) точки пересечения полученной прямой с плоскостью Q, и с координатными плоскостями xOy, xOz, yOz;

Решение.

1) Произвольный вектор может быть представлен в системе орт следующей формулой:

, (1)

где - проекции вектора на координатные оси Ox,Oy,Oz,

- единичные векторы, направления которых совпадают с положительным направлением осей Ox,Oy,Oz. Если даны точки и , то проекции вектора на координатные оси находятся по формулам:

; ; . (2)

Тогда

(3)

Подставив в (3) координаты точек А и В, получим вектор :

.

Аналогично, получим:

; .

Если вектор задан формулой (1), то его модуль вычисляется по формуле

. (4)

Применяя (4), получим модули найденных векторов:

, , .

2) Косинус угла между двумя векторами равен скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение их модулей.

(5)

Находим скалярное произведение векторов и :

.

Модули этих векторов уже найдены , .

Следовательно,

; .

3) Площадь грани АВС равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и . Обозначим векторное произведение вектора на вектор через вектор . Тогда, как известно, модуль вектора

выражает собой площадь параллелограмма, построенного на векторах и , а площадь грани АВС будет равна половине модуля вектора :

;

; кв.ед.

4) Объем параллелепипеда, построенного на трех некомпланарных векторах, равен абсолютной величине их смешанного произведения. Вычислим смешанное произведение :

.

Следовательно, объем параллелепипеда равен 144 куб.ед.,

объем заданной пирамиды ABCD равен объема параллелепипеда,т.е. куб.ед.

Тема:4 Аналитическая геометрия в пространстве (задачи 41-50). Перед выполнением задач необходимо изучить раздел 7 ДЕ-2 (аналитическая геометрия).

41-50. Даны координаты точек А, В, С и М.

Найти: 1. уравнение плоскости Q, проходящей через точки А, В, и С;

2.канонические уравнения прямой, проходящей через точку М перпендикулярно плоскости Q,;

3.точки пересечения полученной прямой с плоскостью Q, и с координатными плоскостями xOy, xOz, yOz;