Решение типового примера. Решить систему линейных уравнений:

Решить систему линейных уравнений:

а) по формулам Крамера;

б) матричным методом;

в) сделать проверку найденного решения.

Решение.

а) Для решения заданной системы линейных уравнений воспользуемся формулами Крамера:

; ; .

Определитель третьего порядка вычисляется по правилу разложения по элементам первой строки:

Составим и вычислим главный определитель системы.

Так как определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение. Для его отыскания вычислим вспомогательные определители .

Для вычисления в главном определителе первый столбец заменим столбцом свободных членов, для вычисления и соответственно второй и третий.

По формулам Крамера получим:

; ; .

б) (1)

Данную систему запишем в матричной форме и решим с помощью обратной матрицы.

Пусть А – матрица коэффициентов при неизвестных; X – матрица-столбец неизвестных x,y,z и Н – матрица-столбец из свободных членов:

, , .

Левую часть системы (1) можно записать в виде произведения матриц , а правую в виде матрицы Н. Следовательно имеем матричное уравнение

. (2)

Если определитель матрицы А отличен от нуля, то матрица А имеет обратную матрицу . Умножим обе части равенства (2) слева на матрицу , получим

.

Так как , где Е – единичная матрица, а , то

. (3)

Формулу (3) называют матричной записью решения системы линейных уравнений. Чтобы воспользоваться формулой (3), необходимо сначала найти обратную матрицу по формуле

, (4)

где - определитель матрицы коэффициентов, ,

- алгебраическое дополнение к элементам матрицы,

- минор, определитель второго порядка, полученный путем вычеркивания i -ой строки и j- ого столбца.

Пример:

.

Подставляя полученные значения алгебраических дополнений и в формулу (4), получим обратную матрицу

.

Заменив (3) соответствующими матрицами, имеем

,

где элементы неизвестной матрицы получены путем умножения строк обратной матрицы на соответствующие элементы матрицы свободных членов.

Откуда x=2; y=4; z=-1.

в) Проверим правильность полученного решения, подставив его в каждое уравнение заданной системы:

.

Получили три верных равенства, система решена правильно.

Тема:2 Аналитическая геометрия на плоскости (задачи 11-20, 21-30). Перед выполнением задач необходимо изучить разделы 4,5,6 ДЕ-2(аналитическая геометрия).