Теорема Клаузиуса о сопряженных циклах

Теорема Клаузиуса о сопряженных циклах утверждает:

Термодинамический КПД циклов Карно, совершаемых квазистатически в данном температурном интервале, одинаков для всех систем.

Используем метод доказательства от противного.

Пусть имеются две различных системы, с каждой из которых выполняется цикл Карно в одном и том же температурном интервале. Например, такими системами могут быть вода с водяным паром и азот.

Выберем размеры (или массы) систем такими, чтобы они совершали одинаковую работу W.

Примем, что системы характеризуются следующими данными.

Условный номер системы 1 2

Теплота, получаемая от

теплового источника Q`1 Q``1

Теплота, поступающая

к тепловому стоку Q`2 Q``2

Работа цикла W=Q`1+Q`2 W=Q``1+Q``2

Термодинамический КПД

цикла

Предположим, что термодинамические КПД циклов различны, т.е.

h1¹h 2.

Так как работа обоих циклов одинакова, то должны различаться теплоты, подводимые к системам от тепловых источников:

Q`₁¹Q``₂.

Если термодинамический КПД цикла с системой 1 больше, чем с системой 2, то теплота Q`<sub>1</sub> окажется меньше теплоты Q``<sub>1</sub>.В этом случае пусть цикл с системой 1 выполняется в прямом направлении (как цикл двигателя), а цикл с системой 2 выполняется в обратном направлении (как холодильный цикл). Работа прямого цикла с системой 1 используется для реализации обратного цикла с системой 2, в чем и заключается сопряжение циклов. Таким образом, суммарная работа обоих циклов оказывается равной нулю. Однако в связи с тем, что теплота Q`₁, поступающая от теплового источника к системе 1, меньше по абсолютной величине теплоты Q``<sub>1</sub>, возвращаемой тепловому источнику системой 2, в целом к тепловому источнику, температура которого выше температуры теплового стока, поступает теплота, равная разности этих теплот Q``₁-Q`₁. Из равенства работ обоих циклов следует:

Q`<sub>1</sub>+Q`₂=Q``<sub>1</sub>+Q``₂;

Q``<sub>1</sub>-Q`<sub>1</sub>=Q`<sub>2</sub>-Q``₂.

Последнее равенство означает, что тепловой сток теряет теплоту, равную теплоте, поступающей к имеющему более высокую температуру тепловому источнику.

Итак, возможность совместной реализации циклов Карно с разными термодинамическими КПД противоречит постулату Клаузиуса.

Следовательно, термодинамический КПД цикла Карно не зависит от природы рабочего тела (системы).

Ранее было показано, что для квазистатического цикла Карно, проводимого с идеальным газом, термодинамический КПД равен

,

где Т1 - температура теплового источника, а Т2 - температура теплового стока.

В соответствии с теоремой Клаузиуса эта формула применима для квазистатического цикла Карно, проводимого с любой системой.