Предварительная теорема Карно

Формулировка предварительной теоремы Карно:

Из всех циклических процессов, совершаемых квазистатически в данном температурном интервале, максимальным термодинамическим КПД обладает цикл Карно.

Рис. 3 - 3. Произвольный цикл и описанный вокруг него цикл Карно в тех же температурных пределах.

Для доказательства возьмем произвольный цикл, как это показано на рис. 3 - 3.

Рис. 3 - 4. Сравнение фрагментов произвольного цикла и внутреннего цикла Карно.

Чтобы найти температурные пределы этого цикла, проведем изотермы. Верхняя изотерма, касающаяся цикла, соответствует его максимальной температуре (обозначим ее Т₁), а нижняя изотерма, также касающаяся цикла, - нижней минимальной температуре (примем ее равной Т₂). Далее проведем две адиабаты, касающиеся произвольного цикла. Заключенный между касательными изотермами и касательными адиабатами цикл является циклом Карно, проводимым в тех же температурных пределах, что и произвольный цикл.

Проведя произвольно на очень малом расстоянии друг от друга две адиабаты, выделим фрагменты произвольного цикла и цикла Карно (рис. 3 - 4). КПД фрагмента цикла Карно, описанного вокруг произвольного цикла, совпадает с КПД всего внешнего цикла Карно.

Площадь, ограниченная верхним и нижним фрагментами произвольного цикла и двумя боковыми адиабатами, равна сумме теплот dQ_­ и dQ_¯. Теплота dQ_­ соответствует верхнему участку, а dQ_¯ - нижнему. Сохраняя площадь выделенной части неизменной, проведем вместо верхнего фрагмента произвольного цикла изотерму. Обозначим ее температуру T₁`. Теплота процесса остается прежней: dQ­+dQ¯. Так как теплота нижней части фрагмента dQ¯ осталась неизменной, то теплота процесса по изотерме, заменяющей верхнюю часть фрагмента произвольного цикла, окажется равной dQ­. Далее, заменяя нижнюю часть фрагмента соответствующей изотермой с температурой Т<sub>2</sub>`, получим внутренний цикл Карно.

Термодинамический КПД цикла Карно, описанного вокруг произвольного цикла, обозначим h_e, а КПД цикла Карно, заменяющего фрагмент произвольного цикла, - h_i.

Поскольку изотерма с температурой Т₁ лежит выше изотермы с температурой Т₁`, а изотерма с температурой Т<sub>2</sub> находится ниже изотермы с температурой Т<sub>2</sub>`, то выполняются следующие неравенства:

T₁>T₁ `, T<sub>2</sub> <T<sub>2</sub> `;

; ; ;

.

Таким образом, термодинамический КПД любого фрагмента произвольного цикла всегда меньше КПД цикла Карно, проводимого при максимальной и минимальной температуре произвольного цикла. КПД всего произвольного цикла также должен быть меньше КПД цикла Карно, проводимого в том же температурном интервале.