Политропические процессы с идеальным газом

В этой главе рассматриваются только квазистатические процессы в простых системах.

Политропическими процессами называются процессы, в ходе которых зависимость между параметрами имеет вид

. (3 - 8)

Уравнение (3 - 8) называется уравнением политропы, а показатель степени n - показателем политропы.

Другие формы уравнения политропы можно получить, если воспользоваться уравнением состояния идеального газа. Подставляя в уравнение (3 - 8) вместо давления RT/V, получим

, (3 - 9)

а подставляя V вместо RT/P, получим

. (3 - 10)

Для вывода уравнения политропы используем уравнение баланса энергии и свойства идеального газа:

dQ = dU + PdV;

dQ = CdT; dU = C_vdT; dT = R^-1(PdV + VdP); C_p - C_v = R.

Далее можно записать:

CdT = CvdT + PdV;

(C - C_v)dT = PdV;

(C - C_v)R^-1(PdV + VdP) = PdV;

(C - C_v)(PdV + VdP) = RPdV = (Cp - Cv)PdV;

(C - C_v)VdP + (C - C_p)PdV = 0.

Разделив обе части последнего равенства на PV и на (C - C_p), получим:

.

Интегрирование приводит к следующему выражению:

.

Окончательная форма уравнения имеет следующий вид:

. (3 - 11)

Сравнивая две формы записи уравнения политропы (3 - 8) и (3 - 11), находим, что показатель политропы определяется теплоемкостью процесса

. (3 - 12)

Рассмотрим, какие значения принимает показатель политропы для важнейших термодинамических процессов.

Изотермический процесс. Ранее было показано, что при приближении процесса к изотермическому его теплоемкость стремится к двум значениям: + ¥ или - ¥. Следовательно, показатель политропы стремится к 1.

Таким образом, уравнение изотермы

PV=const

является частным случаем политропы.

Изобарический процесс. Приближение процесса к изобарическому означает, что для его теплоемкости выполняется условие C ® C_p. Следовательно, n ® 0. В этом случае уравнение (3 - 9) примет вид

V^-1T=const

или

,

что соответствует закону Гей-Люссака.

Изохорический процесс. Из условия C ® C_v следует, что n ® ¥ и . Переписав уравнение (3 - 10) в форме

,

получим

.

Последнее уравнение соответствует закону Шарля.

Адиабатический процесс. Для этого процесса выполняется условие C=0. Показатель степени становится равным

. (3 - 13)

Вводимый равенством (3 - 13) показатель g называется показателем адиабаты.

Уравнение адиабаты, связывающее параметры идеального газа в адиабатическом процессе, имеет следующие формы:

, (3 - 14)

, (3 - 15)

. (3 - 16)

Уравнение адиабаты можно вывести, принимая, что теплота процесса dQ=CdT=0 и изменение внутренней энергии равно dU=C_vdT. Исходное уравнение таково:

C_vdT + PdV = 0.

Для его решения используются те же приемы, что и для вывода уравнения (3 - 11).