Решение уравнений Навье - Стокса

В результате дискретизации каждое из исходных уравнений пред­ставляется в виде системы линейных уравнений, неизвест­ными в которой являются параметры течения, определяемые из решения данного уравнения. Для решения системы алгебраиче­ских уравнений в настоящее время используется две группы ме­тодов. Методы сопряженных гради­ентов основаны на отыскании многомерной векторной функции для минимизации невязки, полученной от подстановки прибли­женного решения в систему линейных уравнений. Наиболее пер­спективным методом поиска решения системы линейных урав­нений является многосеточный метод. В некоторых программах используются некоторые упро­щенные алгоритмы – трехдиаго­нальный алгоритм Томаса (TDMA) и метод Гаусса-Зейделя [1,8].

Для повышения устойчивости и сходимости решения чаще всего применяется релаксация [7,8] – ограничение на измене­ние переменной в течение итерации:

,

где

a – коэффициент релаксации;

i – номер итерации.

Решение уравнений Навье – Стокса численными методами само по себе не представляет сложностей. Действительная слож­ность свя­зана с определением поля скоростей с неизвестным по­лем дав­ления. Градиент давления составляет часть источнико­вого члена уравнения Навье – Стокса. Однако в решаемую сис­тему не вхо­дят уравнения для определения давле­ний. Поэтому поле давле­ний определяется с помощью уравнения неразрывно­сти. Если «правильное» поле давлений подставить в уравнение Навье – Стокса, получаемые в результате его решения скорости будут удовлетворять уравнению неразрывности [7].

Один из вариантов решения системы уравнений выглядит следующим образом:

- задается приближенное поле давлений р^*;

- решается уравнение Навье – Стокса, из которого опреде­ляются u^*,v^*,w^*;

- определяется поправка давления , где - поле давлений, удовлетворяющее уравнению не­разрыв­ности;

- определяется ;

- находятся уточненные значения скоростей u,v,w;

- определяют распределение температуры T;

- обновляют свойства среды, зависящие от температуры - l, m, с_р, R;

- определяют распределение параметров турбулентности;

- обновляют свой­ства среды, за­висящие от па­раметров тур­бу­лентности - m_Т.

Приведенный алго­ритм называется полуне­явным методом для свя­зывающих давление урав­нений и более известен под на­званием SIMPLE [8].

Примерный алгоритм решения уравнений газо­вой динамики числен­ными методами приведен на рис. 1.11 [26,27].

В качестве крите­рия сходимости реше­ния чаще всего ис­поль­зуется понятие не­вязки. Пусть для дифференциального уравне­ния было най­дено при­ближенное ре­шение . Невяз­кой на­зыва­ется величина . Очевидно, что чем ближе не­вязка к нулю тем ближе по­лучен­ное численное решение к дейст­ви­тельному реше­нию системы уравнений.

Условием сходи­мости является следую­щее усло­вие: макси­мальное значе­ние не должно пре­вы­шать некоторого малого числа [8]. Мак­симальная невязка на­значается обыч­но в преде­лах 1×10^-2…...1×10^-4 [26,27].

Описанный выше ал­горитм решения сис­темы уравнений На­вье – Стокса реализован в современных CFD программных ком­плек­сах. С его помощью может быть рассчитано течение в кана­лах про­извольной формы. Процесс численного исследования любого тече­ния с помощью универсальных про­граммных ком­плексов можно разделить на восемь этапов [1,7,8,9,12,26,28]:

1. выбор расчет­ной схемы, граничных условий и ос­нов­ных до­пущений;

2. опре­деление границ рассматриваемой области;

3. создание расчетной конечно-элементной сетки;

4. задание граничных условий;

5. назначение парамет­ров счета;

6. непосредственно расчет;

7. визуализация результатов расчета и определение ос­нов­ных расчетных параметров (интегральных ве­личин ско­рости, давления, температуры и т.п.);

8. анализ полученных результатов, оценка адекватно­сти распре­деления параметров по расчетной об­ласти.

2. Структура программного комплекса Fluent

История программного комплекса Fluent начинается в 1982 году, когда проблемы вычис­лительной гидродинамики интересо­ва­ли весьма узкий круг специалистов. Инженеры американской фирмы Creare, Inc. совместно с группой уче­ных из Шеффилд­ского университета (Великобритания) под ру­ководством доктора Ферита Бойсана решили со­з­дать простую в использовании, ин­терактивную CFD -программу для инженерных расчетов. Первый ре­лиз продукта под назва­нием Fluent вышел в октябре 1983 года. Этот проект оказался столь успешным, что в 1990 году разработ­чики программы соз­дали собственную компа­нию Fluent, Inc. Фирма развивалась бы­стрыми темпами, посто­янно совершенст­вуя свой продукт. В сен­тябре 2000 года компа­ния получила сер­тификаты ISO 9001 и TickIT. В настоящее время Fluent является одним из лидеров рынка коммерческих CFD про­грамм для ре­шения задач меха­ники жидкостей и газов [25].

Программный комплекс Fluent позволяет решать задачи:

- течения жидкостей и газов в каналах любой формы;

- внешнего обтекания;

- теплопередачи (вынужденную и свободную конвекцию, теп­лопередачу и лучистый теплообмен);

- течения со свободными поверхностями;

- течения многофазных сред;

- течения реагирующих потоков, включая горение;

- течение твердых частиц и капель жидкости в потоке;

- изменения фазового состояния вещества (плавление, кипе­ние, кристаллизация, испарение, кавитация);

- течения в движущихся каналах (например, в смесительных устройствах и турбомашинах);

- моделирования течения в каналах с меняющейся в про­цессе решения геометрией;

- акустики и др...

Программа Fluent позволяет решать двухмерные, осесиммет­ричные и трехмерные задачи в стационарной или нестационар­ной постановках в большом диапазоне скоростей течения. Тече­ние может рассматриваться как невязкое, ламинарное или турбу­лентное.

Программный комплекс Fluent использует неструктурирован­ную сеточную техноло­гию. Это значит, что конечно-элементная сетка может состоять из элементов разнообразной формы: шес­тиугольников, четы­рехугольников и тре­угольников, гек­сайдеров, тетрайдеров, призм и пирамид и др.

Конечно-элементная сетка может адаптироваться (сгущаться или укрупняться) по результатам расчета. Это позволяет полу­чить более точное решение для областей с большими градиен­тами потока, например, для пограничных слоев и скачков уплот­нения. Указанная возможность снижает требования к качеству сетки и соответственно время ее создания и время счета.

Для построения моделей решеток турбомашин в программ­ный комплекс входит подпрограмма G/Turbo. Она является свое­образным аналогом TurboGrid, но заметно уступает ему по функ­циональным возможностям.

Программный комплекс Fluent оснащен средствами проверки качества сетки и исправления найденных дефектов. В послед­них версиях программы появилась возможность решения задач в ка­налах, геометрия которых меняется в процессе решения (на­при­мер, поршнях ДВС).

Программа Fluent обладает большой базой данных рабочих тел, которая включает в себя жидкости, газы и твердые тела. Она может быть расширена за счет пользовательской базы данных. Параметры рабочего тела в расчете могут быть как постоянными, так и меняться в зависимости от параметров течения.

Программный комплекс использует для решения метод ко­нечных объемов и позволяет проводить решения задач с помо­щью одного из трех алгоритмов:

- неявного алгоритма Pressure Based (в российской литера­туре его называют алгоритмом установления);

- явного алгоритма Density Based (в россий­ской литературе - алгоритм расщепления);

- неявного алгоритма Density Based.

Решатель программного комплекса позволяет проводить ре­шение на вложенных сетках. Исход­ные уравнения могут быть дискретизированы по первому, вто­рому или частично третьему порядку точности. Решение может быть распараллелено и решаться на нескольких процессорах.

Во Fluent включены различные физические модели теплопе­редачи, фазовых переходов, кавитации и др.

В программном комплексе доступны ряд современных моде­лей турбулентности: Рейнольдса, Спаларта - Аламарса, k-w, k-e, V2F, LES, DES. Повышение точности моделирования погранич­ных слоев достигается за счет использования пристеночных функций.

Программный комплекс Fluent позволяет использовать боль­шое количе­ство граничных условий на входе и выходе из расчет­ной области, моделировать подвижные стенки каналов.

В программе реализованы широкие возможности визуализа­ции результатов решения. Возможны построение полей распре­деления параметров потока, векторов, линий тока, создание анимации, управление отображением модели и т.п. Результаты могут быть представлены в виде графиков, текстовых файлов или интегральных значений параметров.

Расчетная область может быть создана на основе геометрии импортированной из различных CAD программ в форматах: PARASOLID, ACIS, STEP, IGES и др.

Типичный процесс исследования потока с помощью про­граммного комплекса Fluent показан на блок-схеме (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Этапы решения газодинамических задач в программном ком­плексе Fluent

Первые три этапа решения задачи выполняется в программе Gambit, являющейся составной частью программного комплекса. Ос­тальные этапы реализуются непосредственно в программе Flu­ent.

Базовая поставка программного комплекса включает про­граммы Fluent, Gambit и T-Grid. Все программы англоязычные.

В дополнение к указанным продуктам Flu­ent, Inc. предлагает несколько отраслевых про­граммных комплексов: Icepak — для расчета температурного состояния электронной аппара­туры, Air­pak — для проектирования инженерных систем зданий (системы вентиляции, отопления и пр.) и MixSim — для проектирования смесите­лей и мешалок и др.

3. Общие сведения о работе в программе Gambit

Программа Gambit - составная часть программного комплекса Fluent и является его основным препроцессором. Gambit создана для ОС UNIX, поэтому для ее работы в Windows необходима эму­ляция. В каче­стве эмулятора обычно используется программа Ex­ceed.

Gambit позволяет:

1. Создавать геометрию расчетной области:

- создавать геометрию внутренними средствами про­граммы;

- импортировать геометрию расчетной области из CAD программ;

- делить или объединять элементы геометрии для по­строения структурной сетки.

2. Развивать расчетную область на конечные элементы:

- строить конечно-элементные сетки;

- управлять процессом разбиения.

3. Проверять качество расчетной сетки.

4. Определять границы расчетной области, на которых в даль­нейшем будут установлены граничные условия.

5. Экспортировать конечноэлементные сетки в Fluent или другие расчетные программы.

Запуск программы Gambit осуществляется нажатием на соот­ветствующий ярлык на рабочем столе или из меню «Пуск»:

Пуск ® Все программы ® Fluent Inc Products ® Gambit 2.3.16 ® Gambit 2.3.16

Перед запус­ком программы появится диало­говое окно, изо­браженное на рис. 3.1. В нем в поле Working Di­rectory указыва­ется папка, в ко­торой будут сохраняться файлы данной рабочей сессии. Вы­брав папку, следует нажать кнопку Run.

Программа Gambit работает с несколькими типами файлов:

- с расширением *.dbs – файл базы данных модели;

- с расширением *.jou –журнальный файл, в котором запи­саны все действия пользователя, на его основе можно осуществлять параметризацию модели;

- с расширением *.trn – файл транскрипции;

- с расширением *.lok – файл данных. Он создается только для модели, работа с которой ведется непосред­ственно в данный мо­мент.

Внимание! В ряде случаев, программа Gambit после некор­рект­ного окончания работы может не запускаться. Для того, чтобы она зарабо­тала часто достаточно удалить все файлы с рас­шире­нием .lok из рабочей папки.

При запуске программы в рабочей папке создается папка c именем «GAMBIT #. №№# - <Номер процесса>». При корректном окончании рабочей сессии эта папка удаляется автома­тически. В случае некорректного закрытия сессии папка остается, и ее сле­дует удалить вручную.

Окно программы Gambit показано на рис. 3.2. Интерфейс программы состоит из следующих основных эле­ментов:

Верхнего меню – меню, содержащего инструменты управления файлами (чтение, запись, импорт и т.п.) и некоторые настройки программы.

Рис. 3.2. Основное рабочее окно программы Gambit

Области построения модели – места, где отображается ак­тив­ная модель.

Окна сообщений – части экрана, в котором в текстовом виде (на английском языке) показываются результаты выполнения всех команд. В нем также выводятся сообщения об ошибках. Окно сообщений можно раскрыть на все рабочее окно с помо­щью кнопки в виде стрелки направленной вверх в правом углу окна.

Окна описания кнопок – поля, в котором приводятся краткие описания (на английском языке) действия кнопок или элементов меню на котором в данный момент времени указывает курсор.

Главного меню – основное меню, в котором находятся кнопки доступа к командам построения расчетной области, раз­биения ее на конечные элементы и т.д. Структура главного меню показана на рис. 3.3.

Рис. 3.3. Структура главного меню программы Gambit

Следует обратить внимание на то, что часть кнопок имеет маленький красный треугольник внизу. Это гово­рит о том, что если щелк­нуть на них правой кла­вишей мыши, то можно полу­чить доступ к дополнительным ко­мандам сходного содержания (например, разным способам по­строения элемен­тов).

К достоинствам интерфейса программы Gambit относится то, что все кнопки снабжены простыми рисунками, отражающими суть операции. Кроме того меню построе­ния/редактирования различных элементов имеют одинаковую структуру, что заметно упрощает работу с программой и сокра­щает время ее освоения.