Квадратичная противоточная интерполяция (QUICK)

Следующее логическое уточнение должно аппроксимировать параболой переменный профиль между узлами Ρ и Ε, а не пря­мой. Чтобы создать параболу, мы должны использовать данные в еще одной точке; в соответствии с природой конвекции, третья точка взята в расположенном выше по потоку месте, то есть W, если поток от Ρ до Ε (то есть u_x> 0) или EE, если u_x < 0, см. рис. 1.10. Таким образом, получаем:

, (1.15)

где D, U, и UU обозначают основное направление, пер­вый расположенный выше по потоку узел, и второй располо­жен­ный выше по потоку узел, соответственно (E, P, и W или Ρ, Ε, и EE, в зависимости от направления потока). Коэффициенты g₂ и g₁ могут быть выражены в терминах узловых координат:

;

.

Для регулярных сеток берутся коэффициенты трех узловых значений, включенных в интерполяцию: 3/8 для точки основ­ного направления, 6/8 для первого расположенного выше по потоку узла, 1/8 для второго расположенного выше по потоку узла. Эта схема является несколько более сложной, чем схема CD: это расширяет вычислительную область на еще один узел в каждом направлении (в двухмерном случае, включены узлы EE, WW, NN и SS), а на неортогональных и/или неравномер­ных сетках, выра­жения для коэффициентов g_i не просты. Лео­нард (1979) сделал эту схему популярной и дал ей название QUICK (Квадратичная противоточная интерполяция для кон­вективной кинематики).

У этой квадратичной схемы интерполяции есть погрешность метода третьего порядка и на равномерных и на неравномерных сетках. Это можно показать, устраняя вторую производную от уравнения (1.15) использование f_w, который, на равномерной сетке в декартовой СК с u_x> 0, приводит:

.

Первые три члена на правой стороне представляют ап­прок­симацию QUICK, в то время как последний член – ос­новную погрешность метода. Когда используется эта схема ин­терполяции вместе с аппроксимацией правила середины ­поверх­ностного ин­теграла, полная аппроксимация второго порядка точности (точ­ность аппроксимации квадратуры). Аппроксимация QUICK не­много более точна, чем CD.