Перевод чисел из десятичной системы счисления в систему счисления с произвольным основанием

Для того чтобы перевести число в десятичную систему счисления, запишем его в виде полинома

A_s = a_nSⁿ + a_n-1S^n-1 + … + a₁S¹ + a₀S⁰ + a_-1S^-1 + … + a_-mS^-m,

и вычислим его значение.

Пример:

10101,011₂ = 1 × 2⁴ + 0 × 2³ + 1 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰ + 0 × 2^-1 + 1 × 2^-2 + 1 × 2^-3 = = 21,375₁₀

Существует несколько способов выполнения операций перевода десятичных чисел в систему счисления с произвольным основанием. Рассмотрим их.

§ Способ первый.

Для перевода нужно представить исходное число в виде полинома

A_s = a_nSⁿ + a_n-1S^n-1 + … + a₁S¹ + a₀S⁰ + a_-1S^-1 + … + a_-mS^-m,

взяв в качестве S основание той системы счисления, в которую данное число нужно перевести. Затем выпишем коэффициенты a_i , которые и составят нужное число.

Пример: Перевести число 13₁₀ в систему счисления с основанием 2.

Для этого представим 13 как сумму степеней числа 2:

13₁₀ = 8 + 4 + 1.

Далее воспользуемся формулой A_s = a_nSⁿ + a_{n -1} S^{n -1} + … + a ₁ S ¹ + a ₀ S ⁰ и запишем число 13 в виде полинома

13₁₀ = 1 × 2³ + 1 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰.

Теперь выпишем все коэффициенты a_i: 1101. Таким образом,

13₁₀ = 1101₂.

Примечание.

Обычно этот способ перевода в двоичную систему счисления используют для представления небольших чисел.

§ Способ второй.

Этот способ применяется для перевода больших чисел. Для его усвоения рассмотрим пример.

Пример: Перевести число 234₁₀ в систему счисления с основанием 2.

Будем делить число 234₁₀ последовательно на 2 нацело и записывать остатки, не забывая нулевые:

234: 2 = 117 остаток 0

117: 2 = 58 1

58: 2 = 29 0

29: 2 = 14 1

14: 2 = 7 0

7: 2 = 3 1

3: 2 = 1 1

Результат последнего деления на 2 уже не делится, и эта цифра будет старшей цифрой нашего числа. Выписав все остатки, начиная с последнего, получим двоичное представление числа:

234₁₀ = 11101010₂.