Краткие теоретические сведения к контрольной работе 8

2.4.1. Определения и формулы к решению задач 281 – 290

Числовым рядом называют выражение

, (2.26)

где – числа, члены ряда.

Можно выполнить только конечное число сложений. Сумму первых п членов ряда называют п -й частичной суммой ряда

. (2.27)

Сравните формулы (2.26) и (2.27).

По формуле (2.27) получим последовательность чисел:

. (2.28)

Суммой ряда называют предел последовательности частичных сумм:

. (2.29)

Если предел существует, т. е. S – конечное число, то говорят, что ряд сходится, если нет – ряд расходится.

З а д а ч а 14. Задан числовой ряд . Составить формулу общего члена ряда. Вычислить частичные суммы и сумму ряда.

Р е ш е н и е.

Члены заданного ряда: . Формула общего члена ряда: . Например, .

Вычислим частичные суммы ряда:

Результаты вычислений, представленные на рис. 11, показывают, что с увеличением п частичные суммы ряда приближаются к числу 4,2, т. е.

. Значит, сумма заданного ряда S = 4,2.

Рис. 11

Полученный результат можно проверить. Заданный числовой ряд определяет сумму членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем . Известно, что сумма членов этой прогрессии .

Итак, .

2.4.2. Определения и формулы к решению задач 291 – 300

Ряд вида

(2.30)

называют функциональным, его члены – функции .

При каждом значении аргумента функциональный ряд переходит в числовой ряд, его можно исследовать на сходимость. Множество всех значений аргумента, при которых ряд (2.30) сходится, называют областью сходимости функционального ряда.

Наибольшее значение имеют степенные ряды:

, (2.31)

где – числа, коэффициенты ряда.

Для любой функции , имеющей производные любого порядка в точке и ее окрестности, можно построить степенной ряд Тейлора:

. (2.32)

Частный случай ряда Тейлора при называют рядом Маклорена:

. (2.33)

Известны ряды Маклорена для всех основных элементарных функций, например:

; (2.34)

; (2.35)

. (2.36)

В формулах (2.34) – (2.36) справа указаны интервалы сходимости, в которых эти ряды имеют суммы, равные указанным слева функциям. Такие ряды используются при вычислениях в калькуляторах и компьютерах.

При решении задач нам необходимо воспользоваться теоремой Лейбница:

если в знакочередующемся числовом ряде

члены таковы, что и , то ряд сходится и его сумма S не превосходит первого члена , т. е. .

З а д а ч а 15. Вычислить приближенно с точностью функцию Лапласа при .

Р е ш е н и е.

Используем ряд (2.34) в виде

.

При получим:

.

Степенные ряды внутри интервала сходимости можно интегрировать почленно. Значит,

.

Сколько членов ряда необходимо учесть, чтобы обеспечить заданную точность ?

Если учтем три члена, то отброшенная часть составляет ошибку . Итак, ошибка ряда равна модулю суммы знакочередующегося ряда . Его члены по модулю убывают и общий член стремится к нулю. Значит, по теореме Лейбница сумма этого ряда меньше его первого члена, т. е. , и заданная точность будет обеспечена.

Таким образом, с заданной точностью находим:

.

Выполните проверку по таблицам функции Лапласа [2].

2.4.3. Определения и формулы к решению задач 301 – 310

З а д а ч а 16. Найти четыре первых члена разложения в ряд Маклорена решения задачи Коши .

Р е ш е н и е.

Из уравнения видно, что неизвестная функция имеет производные любых порядков. Значит, ее можно разложить в ряд Маклорена:

С учетом начальных условий () из заданного уравнения находим: .

Значит, при х = 0 .

Из заданного уравнения находим (учтем, что произведение необходимо дифференцировать по формуле ):

.

При

.

Подставим найденные значения в формулу

и получим искомое решение:

Библиографический список

1. П и с к у н о в Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление / Н. С. П и с к у н о в. М.: Наука, 1998. Т. 1. 456 с.

2. П и с к у н о в Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление / Н. С. П и с к у н о в. М.: Наука, 1998. Т. 2. 544 с.

3. В ы г о д с к и й М. Я. Справочник по высшей математике / М. Я. В ы г о д с к и й. СПб: Союз, 1997. 335 с.

4. Г а т е л ю к О. В. Неопределенный и определенный интегралы / О. В. Г а т е л ю к / Омский ин-т инж. ж.-д. трансп. Омск, 1995. 47 с.

5. О р а н с к а я Л. А. Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений / Л. А. О р а н с к а я / Омский ин-т инж. ж.-д. трансп. Омск, 1992. 35 с.

6. Г р и н ь И. П. Кратные интегралы, скалярное и векторное поле / И. П. Г р и н ь, О. А. З а б л о ц к а я / Омский ин-т инж. ж.-д. трансп. Омск, 1993. 45 с.

7. З а й ц е в А. И. Ряды / А. И. З а й ц е в, Е. А. Ц а р е г о р о д ц е в, В. Ф. К у з н е ц о в / Омский ин-т инж. ж.-д. трансп. Омск, 1997. 31 с.

Учебное издание

АРТЮХОВ Владимир Яковлевич, АВИЛОВА Лиана Валериевна,

ГАЛИЧ Юлия Геннадьевна, ГАТЕЛЮК Олег Владимирович,

ЦАРЕГОРОДЦЕВ Евгений Алексеевич

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Часть 2

____________________

Редактор Т. С. Паршикова

Подписано в печать.06.2006. Формат ¹/₁₆.

Плоская печать. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 2,9.

Уч.-изд. л. 3,2. Тираж 150 экз. Заказ

Редакционно-издательский отдел ОмГУПСа

Типография ОмГУПСа

644046, г. Омск, пр. Маркса, 35

-