Краткие теоретические сведения к контрольной работе 6

2.2.1. Определения и формулы к решению задач 221 – 230

Дифференциальным называют уравнение, содержащее независимую переменную х, неизвестную функцию у (х) и ее производные :

(2.7)

Порядок старшей производной определяет порядок дифференциального уравнения.

Любая функция называется решением дифференциального уравнения (2.7) в области D, если при подстановке функции в уравнение она обращает его в тождество в этой области.

Например, уравнение

(2.8)

является дифференциальным уравнением первого порядка. Любая из функций − const, будет решением уравнения (2.8). Действительно, если у = 5 х, то и при подстановке в уравнение (2.8) получаем тождество:

Данный пример показывает, что уравнение (2.8) имеет множество решений определяемое произвольной постоянной с.

Функцию , содержащую одну произвольную постоянную с и являющуюся решением дифференциального уравнения первого порядка:

(2.9)

при некоторых дополнительных условиях, называют общим решением.

Большинство методов решения уравнения (2.9) заключаются в приведении его к уравнению вида

(2.10)

и в последующем интегрировании.

З а д а ч а 6. Найти общее решение дифференциального уравнения

Ре ш е н и е.

Задано дифференциальное уравнение первого порядка. Приведем его к уравнению вида (2.10). Для этого заменим на . Получим: , умножим обе части этого уравнения на . Тогда имеем уравнение вида: . В одной его части находится только переменная у, в другой – только х. При этом говорят, что удалось разделить переменные или получить уравнение с разделенными переменными. Интегрируем последнее уравнение: .Получили общее решение.

Выполним проверку: .

Подставим найденные у и в исходное уравнение:

.

Уравнение превратилось в тождество, следовательно общее решение найдено верно.

З а д а ч а 7. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Р е ш е н и е.

Заменим на : . Умножим полученное уравнение на : . Разделим обе части последнего уравнения на выражение (1 – х)(3 у + 4). Получим уравнение, в котором переменные разделены: , его можно интегрировать: . При интегрировании используем правило о линейной замене: . Произвольную постоянную интегрирования с можно взять в виде , так как при изменении с от до также изменяется от до .

Тогда , ; ; ; ; . Получили общее решение уравнения.

2.2.2. Определения и формулы к решению задач 231 – 240

Уравнение вида

(2.11)

называют однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Его общее решение содержит две произвольные постоянные.

Например, общим решением уравнения будет функция .

Действительно, если найти и подставить в исходное уравнение , то получим:

;

;

.

Значит, функция действительно является решением уравнения .

Для дифференциального уравнения (2.11) составим характеристическое уравнение:

. (2.12)

Т е о р е м а 1. О структуре общего решения однородного линейного дифференциального уравнения.

Если функции и − два каких-либо частных линейно независимых решения однородного уравнения (2.11), то

, (2.13)

есть общее решение этого уравнения (, – произвольные постоянные).

Т е о р е м а 2. О частных решениях однородного линейного дифференциального уравнения.

Если и − два различных действительных корня характеристического уравнения (2.12), то функции

(2.14)

являются частными линейно независимыми решениями уравнения (2.11);

если действительные корни равны, т. е. , то

; (2.15)

если − пара сопряженных комплексных корней, то

. (2.16)

З а м е ч а н и е. Решения и называют линейно независимыми, если их отношение не является постоянным, т. е. .

З а д а ч а 8. Найти общее решение уравнения .

Р е ш е н и е.

Составим характеристическое уравнение: , – его действительные различные корни. По теоремам 1 и 2 получаем: ; . Проверка выполнена выше.

З а д а ч а 9. Найти общее решение уравнения .

Р е ш е н и е.

Составим характеристическое уравнение: , – его равные действительные корни. По теоремам 1 и 2 получаем: ; . Выполните проверку.

2.2.3. Определения и формулы к решению задач 241 – 250

Общее решение дифференциального уравнения содержит произвольные постоянные. Для определения этих постоянных, т. е. для выделения из общего решения частного решения, удовлетворяющего конкретной задаче, необходимы дополнительные условия, которые называют начальными. Вместе с дифференциальным уравнением они составляют задачу Коши. Для однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка задача Коши имеет вид:

. (2.17)

При решении задачи Коши (2.17) необходимо найти функцию у (х), удовлетворяющую уравнению и начальным условиям (2.17), которые требуют, чтобы при заданном значении аргумента () значения функции и ее производной были равны заданным числам ().

З а д а ч а 10. Решить задачу Коши ;

Р е ш е н и е.

Найдем общее решение уравнения.

Составим характеристическое уравнение: , – пара комплексных сопряженных корней. Напомним, что – мнимая единица. По теоремам 1 и 2 получаем общее решение исходного уравнения:

. (1)

Выделим из общего решения (1) решение, удовлетворяющее начальным условиям: Из уравнения (1) находим:

. (2)

Из формул (1) и (2) в соответствии с начальными условиями при получаем:

Так как то

Из уравнения (1) находим решение задачи Коши:

.

Выполните проверку.

2.2.4. Определения и формулы к решению задач 251 – 260

Необходимо найти общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка вида:

. (2.18)

Уравнение

(2.19)

называют однородным уравнением, соответствующим неоднородному уравнению (2.18). Его характеристическое уравнение имеет вид:

. (2.20)

Сначала решаем уравнение (2.20), т. е. находим его корни. По теоремам 1, 2 получаем общее решение вспомогательного уравнения (2.19).

Т е о р е м а 3. О структуре общего решения неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка (2.18).

Если − общее решение однородного уравнения (2.19), − какое-либо частное решение неоднородного уравнения (2.18), то общее решение неоднородного уравнения (2.18) будет иметь вид:

. (2.21)

Как находить для одного частного случая правой части , рассмотрим на примере.

З а д а ч а 11. Найти общее решение уравнения .

Р е ш е н и е.

Составим соответствующее однородное уравнение: и его характеристическое уравнение: . Корни характеристического уравнения действительные различные. По теоремам 1, 2 получим общее решение однородного уравнения:

Если правая часть неоднородного уравнения имеет вид: , где – многочлен п -й степени, и ни один из действительных корней характеристического уравнения () не равен заданному числу , то частное решение неоднородного линейного дифференциального уравнения следует ис кать в виде , где – многочлен п -й степени с неизвестными коэффициентами.

В данной задаче . Значит, . Причем . Тогда частное решение необходимо искать в виде .

Найдем коэффициенты А и В многочлена :

,

.

Подставим в исходное уравнение и получим:

,

сократим последнее уравнение на и приведем подобные члены:

,

.

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях равенства:

Таким образом, частное решение уравнения имеет вид: .

По теореме 3 получаем искомое общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения:

.

З а м е ч а н и е. В задачах 252 − 254, 256, 260 правая часть уравнений имеет вид: и корни характеристического уравнения не равны нулю. Значит, частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде , где А, В, С – коэффициенты, подлежащие определению.