Совместное применение теорем сложения и умножения вероятностей

П р и м е р. Стреляют три орудия. Пусть события

А ₁ = {попадет первое орудие};

А ₂ = {попадет второе орудие};

А ₃ = {попадет третье орудие}

имеют вероятности P (А ₁) = р 1 = 0.7, второго P (А ₂) = р 2 = 0.8, третьего P (А ₃) = p 3 = 0.9. Вычислить вероятность того, что попадет одно и только одно орудие (безразлично какое).

Решение.

Вероятности противоположных событий равны

= q 1 = 1 − 0.7 = 0.3;

= q 2 = 1 − 0.8 = 0.2;

= q3 = 1 − 0.9 = 0.1.

Обозначим события

В ₁ = = {первое орудие попало, два других промахнулись}

В ₂ = = {второе орудие попало, два других промахнулись}

В ₃ = = {третье орудие попало, два других промахнулись}

Нас интересует вероятности сложного события В, попадания только одного орудия неважно какого. Событие В равно сумме трёх очевидно попарно несовместных событий В = В ₁ + В ₂ + В ₃, поэтому

Р (В) = Р(В ₁ + В ₂ + В ₃) = Р (В ₁) + Р (В ₂) + Р (В ₃).

Чтобы вычислить вероятности Р (В ₁), Р (В ₂), Р (В ₃) нужно воспользоваться теоремой умножения. Напоминаем, что знак умножения между событиями часто не ставится, но подразумевается.

Р (В ₁) = = = 0.7 0.2 0.1= 0.014;

Р (В ₂) = = = 0.3 0.8 0.1=0.024;

Р (В ₃) = = = 0.3 0.2 0.9 = 0.054.

Таким образом

Р (В) = Р (В ₁+ В 2+ В 3).

Так как события несовместны, то

Р (В ₁+ В 2+ В 3) = Р (В ₁) + Р (В ₂) + Р (В ₃) = 0.014 + 0.024 + 0.054 = 0.092.

Видно, что вероятность попадания в цель только одним орудием есть вероятность небольшая.

Замечание. Из метода решения этой задачи легко усмотреть как можно решить такую задачу: вычислить вероятность того, что попадет два и только два орудия (безразлично какие).