Вероятность появления хотя бы одного из событий независимых в совокупности

Рассмотрим предыдущий пример

П р и м е р. Стреляют три орудия. Пусть события

А ₁ ={ попадет первое орудие }; А ₂ = { попадет второе орудие }; А ₃ ={ попадет третье орудие } имеют вероятности P (А ₁) = р 1 = 0.7, второго P (А ₂) = р 2 = 0.8, третьего P (А ₃) = p 3 = 0.9. Вычислить вероятность того, что попадет хотя бы одно из орудий.

Интуитивно понятно, что вероятность попадание в цель хотя бы одним из трёх орудий, должно быть значительно выше, вероятности попадания в цель только одним орудием (безразлично каким).

Решение.

Для вычисления искомой вероятности удобно воспользоваться понятием противоположных событий. События А = { попало хотя бы одно орудие } и В = { ни одно из орудий не попало } очевидно противоположны. (т.е. они несовместны и образуют полную группу. Полная группа это значит может произойти только одно из событий либо А либо В и никое другое не может произойти в результате эксперимента). Воспользуемся сформулированной ранее теоремой. Сумма вероятностей двух противоположных событий А и В равна 1 .

P (A) + P (B) = 1.

Вероятность события В подсчитать легко используя теорему умножения вероятностей.

Вероятности противоположных событий равны

= q 1 = 1 − 0.7 = 0.3; = q 2 = 1 − 0.8 = 0.2; = q 3 = 1 − 0.9 = 0.1.

Тогда вероятность события равна

Тогда вероятность события А равна

Действительно вероятность появления события А весьма высока.

Cформулируем теорему, которой мы воспользовались.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий независимых в совокупности (в некотором эксперименте) равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий.

Замечание: В частности если все вероятности A _i равны числу p, то вероятность появления хотя бы одного из них равна

Р (А)=1 − qⁿ

где q = 1 − p.

Пример.

П р и м е р. Пусть эксперимент состоит в подбрасывании 3 монет одновременно. Имеем всего восемь событий