Теорема умножения вероятностей для зависимых событий

Определение 1. Напомним, что событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет.

Определение 2. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Рассмотрим два совместных события А и В некоторого эксперимента у которых известны вероятности Р (А) и Р _А (В). Возникает вопрос о том, как найти вероятность совместного появления этих двух совместных событий? Ответ следует прямо из определения условной вероятности, но в силу важности этого ответа, его формулируют в виде теоремы.

Теорема.

Вероятность совместного появления двух событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого вычисленную а предположении, что другое событие уже произошло

Р (А×В) = Р (А) × Р _А (В) = Р (В) × Р_В (А) .

Замечание 1. Для независимых событий верно равенство

Р (А×В) = Р (А)× Р (В),

т.е. вероятность произведения равна произведению безусловных вероятностей.

Замечание 2. Теоремы имеет содержательный смысл для совместных событий, однако теорема справедлива и для несовместных событий, но конечно имеет тривиальный смысл. Произведение несовместных событий равно нулю

Р (А×В) = 0,

так какнесовместные события одновременно появиться не могут.

П р и м е р 2. Пусть эксперимент состоит в подбрасывании 2 монет одновременно. В результате проведения такого эксперимента имеется четыре непосредственных события ОО, ОР, РО, РР.

Пусть

А = { только на одной монете появляется О } = ОР+РО +PP.

В = { на первой О, на второй О или Р } = ОО+ОР.

Найти вероятность Р (С) = Р (А × В).