Эмпирическое распределение признака y

Варианты -	Частоты -	Относительные частоты -
		0,2
		0,3
		0,5
		1,0

Объем выборки равен 60.

Значение признака y, меньшее числа 2, не наблюдалось. Поэтому и, следовательно, при .

Значение признака y, меньшее числа 6, т.е. наблюдалось 12 раз. Поэтому и, следовательно, при .

Значения признака y, меньшие числа 10, т.е. и наблюдались 12+18 =30 раз. Поэтому и, следовательно, при .

Так как - наибольшая варианта, то при и, следовательно, при .

Таким образом, эмпирической функцией данного распределения является функция

(1.10.3)

График функции (1.10.3) изображен на рис. 1.10.5.

F

x

1

0 2 6 10

Рис. 1.10.5. График функции (1.10.3)

Из формул (1.10.2) следует, что функция (1.10.3) определяет эмпирическое распределение с вариантами , , и соответствующими относительными частотами 0,2 (0,2-0), 0,3 (0,5-0,2), 0,5 (1-0,5).

Функция (1.10.1) обладает следующими свойствами:

1) функция определена на всей числовой оси;

2) функция - неубывающая;

3) если - наименьшая варианта, то при ;

4) если - наибольшая варианта, то при .

При неограниченном увеличении объема выборки n относительная частота стремится к вероятности события: значение признака y меньше числа х, а функция (1.10.1) приближается к функции , значениями которой являются вероятности события: значение признака y меньше числа х.

Функция называется теоретической функцией распределения, она определяет теоретическое распределение значений признака y в генеральной совокупности.

В математической статистике доказывается, что теоретическая функция непрерывного распределения дифференцируема. Производная называется функцией плотности вероятностей, а ее график - теоретической кривой распределения.

При неограниченном увеличении объема выборки полигон относительных частот стремится к теоретической кривой распределения. Поэтому полигон относительных частот называется также эмпирической кривой распределения.

Теоретическое распределение можно рассматривать как математическую модель эмпирического распределения, в которой исключены влияния случайных факторов. С другой стороны, эмпирическую функцию распределения признака у в выборке можно использовать для приближенного представления теоретической функции признака у в генеральной совокупности.