Теоретический материал. Если ставится задача найти все общие решения двух уравнений с двумя переменными, то говорят, что надо решить систему уравнений

Если ставится задача найти все общие решения двух уравнений с двумя переменными, то говорят, что надо решить систему уравнений. Каждая пара значений переменных, обращающая в верное равенство каждое уравнение системы, называется решением системы уравнений. Решить систему – значит найти все ее решения или доказать, что их нет.

Решать системы уравнений можно используя следующие методы:

Метод подстановки

Суть метода заключается в следующем:

1) Одно из уравнений системы преобразуют к виду, в котором выражено через (или через ).

2) Полученное выражение подставляют вместо (или вместо ) во второе уравнение. В результате получается уравнение с одной переменной.

3) Находят корни этого уравнения.

4) Воспользовавшись выражением через (или через ), находят соответствующие значения (или ).

Метод сложения

Поясним суть метода на примере.

Пример 1. Решить систему уравнений

(1)

Решение. Умножив обе части второго уравнения системы на 3, получим систему

(2)

равносильную данной.

Сложим теперь оба уравнения полученной системы

(3)

Преобразуем ее к виду

Из уравнения находим . Подставив это значение в уравнение , находим .

Итак, (5;-1) – решение системы (3), а значит, и решение равносильной ей системы (1).

Метод введения новых переменных

Применяется при решении систем двух уравнений с двумя переменными одним из следующих способов:

1) Вводится одна новая переменная только для одного уравнения системы;

2) Вводятся две новые переменные сразу для обоих уравнений.

Пример 2. Решить систему

Решение. Положим , тогда и первое уравнение системы примет вид . Решим полученное уравнение относительно новой переменной :

, откуда , .

Таким образом, либо , либо .

Итак, первое уравнение заданной системы распалось на два уравнения: и . В соответствии с этим нам предстоит решить теперь совокупность двух систем:

и

Из первой системы находим , из второй .

Решение систем показательных и логарифмических уравнений не содержит каких-либо принципиально новых моментов. Используются обычные приемы решения логарифмических и показательных уравнений и обычные приемы решения систем уравнений.