Теоретические сведения. Уравнения, имеющие одно и то же множество корней, называются равносильными

Уравнения, имеющие одно и то же множество корней, называются равносильными.

Уравнения, не имеющие корней, также являются равносильными.

Например, уравнения и равносильны, так как каждое из них имеет только один корень . Уравнения и также равносильны, так как они имеют одни и те же корни . Уравнения и не равносильны, так как первое имеет корень , а второе – корни и .

Два уравнения равносильны, если каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения и, наоборот, каждый корень второго уравнения является корнем первого уравнения.

Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный.

Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

При этих преобразованиях исходное уравнение заменяется на равносильное ему уравнение.

Если при переходе от одного уравнения к другому потери корней не происходит, то второе уравнение называют следствием первого уравнения. Иначе, если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого уравнения.

Из этого определения и определения равносильности уравнений следует, что:

1) если два уравнения равносильны, то каждое из них является следствием другого;

2) если каждое из двух уравнений является следствием другого, то эти уравнения равносильны.

При решении уравнений главное – не потерять корни, а наличие посторонних корней можно установить проверкой.

Посторонние корни могут получиться при умножении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное.

Потеря корней может произойти при делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное.

При решении уравнения можно делать только такие его преобразования, при которых не происходит потерь корней. Если при этом получаются уравнения – следствия данного, то необходима проверка найденных корней.

Неравенства, имеющие одно и то же множество решений, называют равносильными. Неравенства, не имеющие решений, также являются равносильными.

Например, неравенства и равносильны, так как имеют одно и то же множество решений . Неравенства и равносильны, так как имеют одно и то же множество решений . Неравенства и не равносильны, так как решениями первого являются числа и , а решениями второго – числа . При решении неравенств обычно данное неравенство преобразуется в ему равносильное.