Последовательность элементов множества

Возьмем в качестве D множество N натуральных чисел, а в качестве Е – произвольное множество.

Определение 1. Отображение f множества N во множество Е называется последовательностью элементов из Е.

Таким образом, последовательность f связывает каждое натуральное число n с некоторым элементом у из Е, который обычно обозначают y_n или f_n, а не f (n), и n называется индексом. Последовательность будет часто обозначаться f = { f ₁, f ₂, ..., f_n, ... }, или сокращенно f = { f_n }, а элемент f_n = у_n из Е будем называть членом с индексом n (или n -ый член) последовательности f.

Отображение (последовательность) f может не быть однозначным: один и тот же элемент из Е можетслужить образом многих различных чисел из N. Поэтому не следует путать выражение “последовательность f = { f_n }” с выражением “множество значений последовательности f ”. Множество значений последовательности { f_n } может состоять всего из одного элемента у = а из Е, такие последовательности называются постоянные последовательности и обозначаются { а },т.е. f_n = а, " n Î N.

Определение 2. Две последовательности { f_n } и { Y_n } из Е равны, если f_n = Y_n при всех n Î N.

Не следует смешивать равенство двух последовательностей и равенство множеств значений этих последовательностей. Так, рассмотрим последовательность { f_n }, определенную посредством f _{2 р} = 0, f _{2 р – 1} = 1,где р Î N, т.е. f_n= 0, если n – четно, и f_n = 1, если n – нечетно, и последовательность { Y_n }, определенную как Y _{2 р} = 1, Y _{2 р – 1} = 0. Эти последовательности представляют собой отображение множества N в Е = Z ₀; множество значений этих двух последовательностей одно и тоже; оно состоит из двух элементов – 0 и 1;сами же последовательности { f_n } и { Y_n } не равны.

Пользуясь понятием функции (гл.1, §2, п.2.4) для числовой последовательности, можно дать следующее определение.

Определение 3. Отображение f множества N натуральных чисел во множество R действительных чисел называется числовой последовательностью.

Например, отображение

f: n ® f_n =

где n Î N,есть числовая последовательность, и записывается { f_n } = .

Данная числовая последовательность задана таким образом, что по индексу n -го члена последовательности { f_n }можно определить и числовое значение f_n этого члена. Например, 9-й член указанной последовательности равен

В дальнейшем именно такие заданные числовые последовательности мы и будем рассматривать.

Определение 4. Числовая последовательность f: n ® a_n= а ₁ + (n –1) d,где а ₁Î R и d Î R называется арифметической прогрессией. Число d называется разностью арифметической прогрессии.

Определение 5. Числовая последовательность f: n ® a_n= a ₁ g^{n- 1},где a ₁Î R и g Î R называется геометрической прогрессией. Число g называется знаменателем геометрической прогрессии.