Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Даны координаты вершин пирамиды : , , , . Требуется: 1) записать векторы , и в системе орт и найти модули этих векторов; 2) найти направляющие косинусы векторов , и ; 3) найти угол ; 4) найти проекцию вектора на вектор ; 5) найти площадь грани ; 6) найти объем пирамиды ; 7) найти длину высоты, опущенной из вершины ; 8) найти координаты вершины Е параллелограмма .
Решение:
1) Произвольный вектор в системе орт , , определяется следующей формулой:
(1)
где , , – проекции вектора на координатные оси OX, OY, OZ, называемые координатами вектора, а , , – орты (единичные векторы), направление которых совпадает с положительным направлением осей OX, OY, OZ соответственно. Если даны точки , , то координаты вектора находятся по формулам:
, , , (2)
т.е. из координат конца вектора вычитаются одноименные координаты начала. Тогда:
. (3)
Подставив в (3) координаты точек А и В, получим вектор :
.
Аналогично, подставляя в (3) координаты точек А и С, находим:
.
Подставив в (3) координаты точек А и D, находим вектор :
Если вектор задан формулой (1), то его модуль (длина) вычисляется по формуле:
. (4)
Применяя (4), получим модули векторов:
, , .
2) Косинусы углов, образованных вектором с положительным направлением осей координат (так называемые направляющие косинусы), определяются по формулам:
, , . (5)
Зная координаты вектора и его модуль, вычислим для вектора направляющие косинусы:
, , .
Аналогично, запишем направляющие косинусы вектора :
, , .
И, наконец, для вектора :
, , .
3) Угол – это угол между векторами и . Косинус угла между векторами равен скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение их длин:
. (6)
Найдем скалярное произведение векторов и по формуле:
, (7)
.
Модули этих векторов уже найдены: , . Следовательно,
, тогда, .
4) Проекция вектора на вектор равна скалярному произведению этих векторов, деленному на модуль вектора :
.
5) Площадь грани АВС равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах. Обозначим векторное произведение вектора на вектор через вектор . Тогда, как известно, длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и , а площадь грани АВС будет равна половине модуля вектора .
Векторное произведение двух векторов вычисляется по формуле:
. (8)
Тогда
.
Отсюда, длина вектора , найденная по формуле (4), и площадь грани АВС равны:
, .
6) Объем треугольной пирамиды, построенной на трех некомпланарных векторах, равен абсолютной величине их смешанного произведения, деленной на шесть. Вычислим смешанное произведение трех векторов , и по формуле:
. (9)
.
.
7) Объем треугольной пирамиды можно также найти по формуле: , где – площадь основания, т.е. площадь грани АВС, а h – высота, опущенная из вершины D на грань АВС. Зная площадь грани АВС и объем пирамиды ABCD , вычислим длину высоты h:
, .
8) Поскольку АВСЕ – параллелограмм, то по правилу параллелограмма сложения векторов имеем: . Найдем координаты векторов и по формуле (2). Тогда получим: и . Суммой этих векторов является вектор , координаты которого вычисляются путем сложения одноименных координат векторов и , т.е. , , . Таким образом, координаты вектора : –1+10=9, 2+4=6, –2+8=6, т.е. . Зная координаты вектора и точки B, из формулы (2) можно найти координаты точки Е по формулам:
, , , (10)
, , .
Итак, точка Е имеет координаты: .
Дата публикования: 2015-02-20; Прочитано: 784 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!