Задание 3. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса:

Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса:

.

Решение:

Основной матрицей системы называется матрица, составленная из коэффициентов, стоящих при неизвестных. Запишем расширенную матрицу системы, состоящую из основной матрицы системы, дополненной столбцом свободных членов:

Используя элементарные преобразования матриц, приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду.

Для облегчения вычислений, желательно, чтобы элемент, стоящий в первой строке и первом столбце, был равен единице. Поэтому, поменяем местами вторую и первую строки матрицы.

Для обнуления элементов первого столбца, расположенных ниже единицы, вычтем из второй строки первую, умноженную на два, из третьей строки вычтем первую, умноженную на три, и, наконец, из четвертой вычтем первую, умноженную также на три.

Получим матрицу:

Аналогично, для облегчения вычислений, удобно чтобы второй элемент во второй строке был равен единице. Для этого поменяем местами вторую и третью строки.

Обнулим элементы второго столбца, стоящие ниже первого ненулевого элемента второй строки (единицы). Для этого к третьей строке прибавим вторую строку, умноженную на три, а из четвертой строки вычтем вторую, умноженную на два.

Получим матрицу:

Опять же, желательно, чтобы третий элемент, стоящий в третьей строке, был равен единице. Для этого разделим третью строку на минус два, и, далее, из четвертой строки вычтем полученную третью, умноженную на три:

В итоге получим ступенчатую матрицу:

.

Ранг матрицы системы равен трем (числу ненулевых строк), ранг расширенной матрицы также равен трем. Следовательно, система совместная. Итак, ранг матрицы совместной системы равен трем, а число неизвестных равно четырем, следовательно, система неопределенная (имеет бесконечное множество решений).

, СЛУ совместная,

, СЛУ неопределенная.

Ступенчатая матрица соответствует системе линейных уравнений:

,

Выразим неизвестные через , начиная с последнего уравнения:

.

Подставим во второе уравнение вместо полученное выражение:

,

.

Аналогично, вместо в первое уравнение подставим соответствующие выражения:

,

.

Получили следующую систему:

.

Эта система линейных уравнений называется общим решением неопределенной системы. Подставляя вместо различные числовые значения, будем получать соответствующие частные решения.