Теоретичні відомості. Нехай тіло масою m кинуто під кутом α до горизонту зі швидкістю v0

Нехай тіло масою m кинуто під кутом α до горизонту зі швидкістю v₀. Знайдемо його траєкторію з врахуванням опору повітря і порівняємо її з траєкторію, отриманою при нехтуванні опором повітря.

Вважаючи тіло матеріальною точкою, запишемо для нього другий закон Ньютона:

, (1)

де g - прискорення вільного падіння, v = v (t) - швидкість тіла у довільній момент часу t, - cила опору повітря. Згідно з законом Стокса:

, (2)

де r – коефіцієнт опору (він залежить від розмірів і форми тіла та від властивостей середовища, в якому тіло рухається).

Виберемо декартову систему координат так, щоб вектор початкової швидкості знаходився у площині Oxy, спрямуємо вісь Oy вертикально вгору перпендикулярно поверхні землі і позначимо через координати тіла у довільний момент часу t. У проекціях на координатні вісі другий закон Ньютона (рівняння руху) набуває вигляду:

, (3а)

(3b)

або

, (4а)

. (4b)

Якщо у момент кидання t = 0 тіло знаходиться у точці з координатами х₀, у₀, то початкові умови задачі є такими:

при t = 0 x = x₀, y = y₀, , , (5)

де , (6)

– проекції початкової швидкості на вісі координат.

Розв’яжемо отримані диференціальні рівняння для двох випадків.

1. Опором повітря нехтуємо, r = 0. Запишемо для цього випадку рівняння (3а, 3b):

,

та інтегруємо їх з врахуванням початкових умов (5):

В результаті отримуємо відомі формули:

v_x = v_0x, v_y = v_0y – gt, (7)

згідно з якими рух тіла у горизонтальному напрямку є рівномірним, а у вертикальному – рівноприскореним.

Знайдемо траєкторію тіла у параметричному вигляді: х = х (t),

у = у (t). Для цього врахуємо, що v_x = dx/dt, v_y = dy/dt, перепишемо рівняння (7) у вигляді:

dx = v_0x·dt, dу = v_0y·dt – gt·dt

і проінтегруємо їх з врахуванням початкових умов (5):

,

.

В результаті отримуємо траєкторію тіла:

x(t) = x₀ + v_0xt, (8a)

y(t) = y₀ + v_0yt – gt ². (8b)

2. Враховуємо силу опору повітря, r > 0. У цьому випадку інтегруємо рівняння (4а):

і знаходимо:

(9)

де β = r/m. (10)

Аналогічно, інтегруючи рівняння (4b):

знаходимо:

(11)

Зауважимо, що при формули (9) і (11) переходять у формули (7).

Для знаходження траєкторії тіла у параметричному вигляді інтегруємо з врахуванням початкових умов (5) рівняння (9) і (11):

В результаті знаходимо траєкторію тіла з врахуванням сили опору повітря:

, (12a)

(12b)