ТЕМА 3. Аналитическая геометрия

Вопросы для самоподготовки

1. Перечислите все случаи задания уравнения прямой на плоскости?

2. Чему равен угол между прямыми, заданными на плоскости? Как найти расстояние от точки до прямой, заданной на плоскости? Как найти точку пересечения прямых, заданных на плоскости?

3. Способы задания уравнения плоскости?

4. Как найти угол между плоскостями, расстояние от точки до плоскости?

5. Перечислите все случаи задания уравнения прямой в пространстве?

6. Чему равен угол между прямыми в пространстве? Сформулируйте условие пересечения двух прямых в пространстве.

7. Чему равен угол между плоскостью и прямой в пространстве?

8. Перечислите различные случаи взаимного расположения плоскости и прямой в пространстве.

Вариант 1.

1. Даны уравнения двух сторон прямоугольника , и одна его вершина . Найти уравнения двух других сторон и вычислить его площадь.

2. Составить уравнение плоскости, параллельной оси и проходящей через точки и .

3. Через точку провести прямую, параллельную плоскостям и .

4. Найти угол между медианой и плоскостью , если , , .

Вариант 2.

1. Две стороны параллелограмма заданы уравнениями и , диагонали его пересекаются в точке . Написать уравнения других сторон параллелограмма.

2. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно к плоскости .

3. Составить уравнение медианы , проведенной из вершины , если , , .

4. Доказать перпендикулярность прямых , , и

Вариант 3.

1. Прямая пересекает оси и в точках и . Точка делит в отношении . Написать уравнение перпендикуляра, восстановленного в точке к прямой .

2. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно к плоскостям , .

3. Найти точку пересечения плоскости и прямой, проходящей через точки и .

4. Найти угол между прямыми и , , .

Вариант 4.

1. Дан треугольник с вершинами , , . Найти угол между медианой и высотой .

2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки и перпендикулярно к плоскости .

3. Написать параметрическое и каноническое уравнения прямой

4. Определить угол между плоскостями и .

Вариант 5.

1. Даны уравнения двух смежных сторон параллелограмма , и точка пересечения его диагоналей . Написать уравнения двух других сторон параллелограмма.

2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки , параллельно оси .

3. Написать уравнение прямой, проходящей через точку пересечения плоскости с осью параллельно прямой

4. Доказать, что прямые и , , пересекаются.

Вариант 6.

1. Дан треугольник с вершинами , , . Составить уравнение стороны , медианы , высоты .

2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки и перпендикулярно плоскости .

3. Через точку провести прямую, параллельную плоскостям и .

4. Найти угол между медианой и плоскостью , если , , .

Вариант 7.

1. Составить уравнение сторон треугольника, если , – две его вершины, а – точка пересечение высот.

2. Найти расстояние от точки до плоскости, проходящей через точки , и .

3. Через точку провести прямую, параллельную плоскостям и .

4. При каком значении параметра плоскости и параллельны?

Вариант 8.

1. Треугольник имеет вершины , , . Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины на биссектрису внутреннего угла .

2. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось и точку .

3. Составить уравнение медианы , проведенной из вершины , если , , .

4. Доказать перпендикулярность прямых и

Вариант 9.

1. Даны середины сторон треугольника: , , . Составить уравнение его сторон.

2. Даны вершины тетраэдра , , , . Написать уравнение плоскости, проходящей через вершину параллельно грани .

3. Написать уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямым и .

4. Доказать перпендикулярность прямых и

Вариант 10.

1. Найти внутренние углы треугольника, если даны уравнения сторон : , : и основание высоты .

2. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки , , .

3. Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки на прямую .

4. При каком значении параметра прямая перпендикулярна плоскости .

Вариант 11.

1. Даны уравнения двух сторон прямоугольника , и его диагонали . Вычислить площадь прямоугольника.

2. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно векторам , .

3. Привести к каноническому виду уравнение прямой

4. Найти угол между прямой и прямой, проходящей через начало координат и точку .

Вариант 12.

1. Даны уравнения высот треугольника , и одна из его вершин . Найти уравнения сторон треугольника.

2. Написать уравнение плоскости, проходящей через медиану : , , и точку .

3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой

4. Найти основание перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость .

Вариант 13.

1. Составить уравнения сторон треугольник, зная одну из его вершин , и уравнения двух высот и .

2. Даны вершины тетраэдра , , , . Написать уравнение плоскости, проходящей через ребро и параллельной ребру .

3. Написать каноническое уравнение проекции прямой на плоскость .

4. При каком значении параметра точка пересечения прямой с плоскостью лежит на плоскости ?

Вариант 14.

1. В ромбе даны две противоположные вершины: , и уравнение стороны . Составить уравнения всех сторон ромба.

2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки и параллельно оси .

3. Составить уравнение прямой, проходящей через точки пересечения плоскости с прямыми и , , .

4. Проверить, пересекаются ли прямые и ?

Вариант 15.

1. Даны уравнения двух сторон прямоугольника , и уравнение одной из его диагоналей . Составить уравнения двух других сторон прямоугольника.

2. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось и точку .

3. Написать уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой

4. При каком значении параметров и прямые и будут параллельны?

Вариант 16.

1. Найти проекцию точки на прямую, проходящую через точки , .

2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки , перпендикулярно плоскости .

3. Написать параметрическое и каноническое уравнения прямой

4. Доказать параллельность прямых и .

Вариант 17.

1. Даны две вершины треугольника , и точка пересечения высот . Найти третью вершину .

2. Точка служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость . Написать уравнение плоскости .

3. Написать параметрическое и каноническое уравнения прямой

4. Найти расстояние между плоскостями и .

Вариант 18.

1. В треугольнике даны уравнения его сторон : , : и основание высоты . Составить уравнение третьей стороны и вычислить .

2. Даны точки , . Написать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору .

3. Написать уравнение прямой, проходящей через точку и точку пересечения плоскости с осью .

4. Найти точку пересечения прямой и плоскости .

Вариант 19.

1. Найти точку пересечения медиан треугольника, вершины которого , , .

2. Написать уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка перпендикулярно вектору , если , .

3. Составить уравнение медианы , проведенной из вершины , если , , .

4. Доказать перпендикулярность прямых и

Вариант 20.

1. Две стороны параллелограмма заданы уравнениями: , . Диагонали его пересекаются в начале координат. Написать уравнения двух других сторон параллелограмма.

2. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось и точку .

3. Написать уравнение перпендикуляра к плоскости , проведенного через точку пересечения прямой с этой плоскостью.

4. Найти угол между прямой и плоскостью , если , , .

Вариант 21.

1. Найти площадь треугольника, ограниченного прямыми , и осью абсцисс.

2. Написать уравнение плоскости, проходящей через медиану : , , и точку .

3. Через точку провести прямую, параллельную плоскостям и .

4. Найти проекцию точки на прямую

Вариант 22.

1. Дан треугольник с вершинами , , . Составить уравнение медианы, проведенной к большей стороне треугольника.

2. Составить уравнение плоскости, проходящей через две точки , перпендикулярно плоскости .

3. Написать параметрическое и каноническое уравнения прямой

4. Найти угол между прямой и прямой проходящей через точки и .

Вариант23.

1. Дан треугольник с вершинами , , . Найти угол между медианой и высотой .

2. Даны вершины тетраэдра , , , . Написать уравнение плоскости, проходящей через вершину и параллельно грани .

3. Составить уравнение медианы , если , , .

4. Найти проекцию точки на плоскость .

Вариант 24.

1. Вычислить координаты вершин ромба, если известны уравнения двух сторон , и уравнение одной из его диагоналей .

2. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат и параллельной плоскости .

3. Через точку провести прямую, параллельную плоскостям и .

4. При каких значениях и прямая принадлежит плоскости ?

Вариант25.

1. Две стороны параллелограмма заданы уравнениями: , . Диагонали его пересекаются в начале координат. Написать уравнения двух других сторон параллелограмма.

2. Написать уравнение плоскости, проходящей через две точки , параллельно вектору .

3. Найти точку пересечения медианы с плоскостью , если , , .

4. Найти угол между плоскостью, проходящей через точки , , , и прямой .

Ответы к теме 3

Вариант 1.

1. , , . 2. .

3. . 4. .

Вариант 2.

1. , . 2. . 3. .

Вариант 3.

1. . 2. . 3. . 4. .

Вариант 4.

1. . 2. . 3. и , , . 4. .

Вариант 5.

1. , . 2. . 3. .

Вариант 6.

1. , , . 2. .

3. . 4. .

Вариант 7.

1. , . 2. . 3. .

4. 15.

Вариант 8.

1. . 2. . 3. .

Вариант 9.

1. , , .

2. . 3. .

Вариант 10.

1. , , . 2. .

3. . 4. .

Вариант 11.

1. 29. 2. . 3. . 4. .

Вариант 12.

1. , . 2. .

3. . 4. .

Вариант 13.

1. , , . 2.

3. , , . 4. 1.

Вариант 14.

1. , . 2. . 3. .

Вариант 15.

1. , . 2. .

3. . 4. .

Вариант 16.

1. . 2. . 3. .

Вариант 17.

1. . 2. . 3. и , , . 4. .

Вариант 18.

1. , . 2. .

3. . 4. .

Вариант 19.

1. . 2. . 3. .

Вариант 20.

1. , . 2. . 3. .

4. .

Вариант 21.

1. . 2. . 3. . 4. .

Вариант 22.

1. . 2. . 3. и , , . 4. .

Вариант23.

1. . 2. . 3. .

4. .

Вариант 24.

1. , , , . 2. .

3. . 4. .

Вариант25.

1. , . 2. . 3. .

4. .