Уравнения динамики и динамические характеристики нелинейных (фрикционных) САУ 7 страница

Как и в предыдущем примере, здесь получаются условия абсолютной устойчивости, т. е. условия, не зависящие от формы нелинейности, но в более узких, чем (4.54), пределах, показанных на рис. 17.14, б.

4.2.3 Определение автоколебаний релейных систем

методом припасовывания

В § 17.1 с помощью фазовой плоскости были найдены автоколебания некоторых нелинейных систем второго порядка. Еще ранее, в § 16.1, были исследованы автоколебания в релейной системе второго порядка методом припасовывания. Однако и для релейных систем любого порядка также существует точное аналитическое решение, потому что релейные характеристики проще других нелинейных тем, что выходная величина принимает только определенные постоянные значения , а при наличии зоны нечувствительности – еще и нулевое значение. Имеются методы аналитического решения Г.С. Поспелова [95, 121], Я.З. Цыпкина [135] и др.

Изложим здесь решение А.И. Лурье для релейной системы любого порядка по методу припасовывания, полагая, что уравнения системы автоматического регулирования имеют вид

(4.81)

(переменная x играет роль переменной ). Это имеет место, например, для системы с нелинейной характеристикой двигателя в приводе регулирующего органа, причем, обозначает скорость двигателя; – управляющее воздействие на двигатель, – передаточное число обратной связи. Выражение (4.81) представляет собой общую форму записи уравнений. В конкретных же задачах многие из коэффициентов , , , что упростит выкладки.

Преобразуем эти уравнения к специальной канонической форме.

Записав первые п -1 из уравнений (4.81) в виде

и преобразовав их к одной (любой) из переменных ( 1, 2, …, п -1),

получим

, (4.82)

где определитель

, (4.83)

а выражение получается из заменой -го столбца на столбец

Многочлены и характеризуют собой свойства линейной части системы. Обозначим через , , …, корни многочлена и будем считать, что все они различны. Тогда уравнение (4.82) после разложения частного двух многочленов и на постоянные дроби можно будет записать в виде

, (4.84)

где обозначает производную от многочлена по р в которую подставлено значение .

Введем новые переменные

или ( 1, 2, …, п -1). (4.85)

Выписывая эти соотношения и добавляя к ним последние два из уравнений (4.81), в которых переменные заменяются по формулам (4.84) и (4.85) на , приходим к следующей системе уравнений

(4.86)

где

. (4.87)

Введем, наконец, еще новые переменные

. (4.88)

Продифференцировав по времени все уравнения (4.86) кроме последнего и исключив затем из ру и р x, получаем канонические уравнения для заданной системы (4.81) в виде

(4.89)

причем , , …, и s называются каноническими переменными (s играет роль переменной ). Эти уравнения имеют значительно более простой вид, чем исходные уравнение (4.81), что и позволяет провести дальнейшее расследование в более простом и общем виде.

Следует заметить, что вещественным корням l соответствуют вещественные канонические переменные , а комплексным корням – комплексные канонические переменные.

Теперь требуется написать только выражения для исходных переменных через канонические . Получим их.

Если все корни отличны от нуля, то из (4.88) имеем

.

Подставляя это с учетом (4.85) и уравнения (4.84), находим выражения исходных переменных через канонические в виде

(4.90)

Если же один из корней многочлена равен нулю, например , то

и .

В результате вместо (4.90) получаем формулы

(4.91)

где

(4.92)

По последней из формул (4.91) определяется и подставляются во все предыдущие.

Рассмотрим случай, когда релейная характеристика имеет гистерезисную петлю из зоны нечувствительности (рис. 17.15). В частном случае это будет идеальная релейная характеристика. Искомые автоколебания предполагаются симметричными, т. е. вторая половина периода колебаний повторяет первую с обратным знаком (несимметричные автоколебания могут встретиться только в редких случаях) обозначим половину периода автоколебаний через Т. В течение одной половины периода, когда и согласно рис. 17.15 , уравнения (4.89) имеют вид

,

.

Если корни не равны нулю, то общее решение этих уравнений будет

,

,

где – произвольные постоянные интегрирования. Они определяются из условий периодичности, выражающих собой тот факт, что в конце полупериода колебаний каждая переменная должна быть равна ее значению в начале периода с обратным знаком, а именно:

,

,

если время отсчитывать от начала рассматриваемого полупериода колебаний. В результате получаем

Следовательно, написанное выше решение имеет вид

(4.93)

в интервале .

В начале полупериода в момент переключения реле согласно рис. 17.15 имеем . Подставив это в (4.93), получаем уравнение для определения полупериода автоколебаний Т:

. (4.94)

Период автоколебаний будет 2 Т. Следовательно, частота автоколебаний

Необходимо заметить, что для того, чтобы действительно произошло переключение реле, нужно, согласно рис. 17.15, иметь возрастание величины при , т. е. в тот момент должно быть . Отсюда получается, что должно выполняться следующее условие переключения:

. (4.95)

Кроме того, не должно быть обратного переключения реле внутри полупериода, т. е. требуется при . Это можно проверить, построив кривую по второй из формул (4.93).

Амплитуда автоколебаний для любой переменной определяется как максимальное ее значение внутри полупериода () на основании формул (4.93). Последние дают также и всю кривую автоколебательного процесса на участке (на втором полупериоде она повторяется с обратным знаком, затем с прежним знаком и т. д.).

В случае, если один из корней равен нулю, например, , то формулы (4.93), (4.94) и (4.95) заменяются соответственно следующими:

(4.96)

а также

, (4.97)

. (4.98)

Устойчивость автоколебаний определяется на основании уравнений данной системы в малых отклонениях от исследуемого автоколебательного процесса. Эти уравнения являются линейными уравнениями с периодическими переменными коэффициентами. Согласно теории Ляпунова (приводится без вывода), необходимым и достаточным условием устойчивости автоколебаний является отрицательность вещественных частей всех корней следующего характеристического уравнения:

, (4.99)

а если , то

, (4.100)

где через р, как и везде ранее, обозначена переменная характеристического уравнения.

Пример. Рассмотрим систему самолета с курсовым автопилотом (в упрощенном виде), которая исследовалась в § 17.2, но только характеристику привода руля возьмем релейную в виде рис. 17.15. В § 17.2 были получены условия устойчивости системы на основании теорем Ляпунова (устойчивость системы по отношению к установившемуся состоянию с постоянным значением угла курса). Теперь же будем искать автоколебания и условия, при которых они имеют место.

Уравнение самолета и автопилота согласно (4.55), (4.60) и (4.59) запишем в виде

(4.101)

где – отклонение самолета от заданного курса; x – отклонение руля; s – управляющее воздействие на рулевую машинку (в закон регулирования введена производная и имеется обратная связь). Пусть последнее из уравнений (4.101) изображается графиком на рис. 17.15 (рулевая машинка постоянной скорости).

Положив

; , (4.102)

приведем уравнение (4.101) к виду (4.81). В наших обозначениях получим:

Следовательно, в уравнениях (4.81) в данном случае имеем:

Определитель (4.83) здесь будет

а корни его

, .

Вычислив и согласно указанию к формуле (4.83), а также производную и коэффициенты по формулам (4.87) и (4.92), получим:

В результате канонические уравнения (4.89) здесь будут

(4.103)

а выражения (4.91) для прежних переменных , , x через канонические , и примут вид

Подставив из последнего уравнения во второе и использовав (4.102), получаем следующие выражения для исходных переменных через канонические

(4.104)

Далее согласно (4.97) записываем уравнения для определения периода автоколебаний:

,

или

, (4.105)

где введено обозначение

. (4.106)

Левая часть равенства (4.105) изображается прямой АВ (рис. 17.16, а), а правая часть – кривой OD. Точка пересечения их является решением уравнения (4.105). Из графика видно, что это уравнение имеет решение только при условии

, (4.107)

причем

.

При прямая АВ не пересекается с кривой OD, что означает отсутствие автоколебаний при этих значениях a.

Но кроме равенства (4.105) необходимо еще выполнение условия переключения (4.98), которое в данном случае будет

,

или

. (4.108)

Следовательно, если даже значение a лежит в интервале (4.107), но не выполняется условие (4.108), то автоколебаний в системе не будет.

Для исследования устойчивости автоколебаний запишем характеристическое уравнение (4.100). Оно получает здесь вид

.

Случай , когда знаменатель обращается в нуль, нереален. Поэтому, считая, что , приведем это уравнение к общему знаменателю, используя обозначение (4.106), что дает

.

Поскольку данное характеристическое уравнение имеет вторую степень, то для устойчивости исследуемых колебаний необходима и достаточна положительность его коэффициентов. Коэффициент при положителен. Коэффициент при р, согласно (4.107), тоже положителен. Поэтому условие устойчивости автоколебаний сводится к положительности свободного члена этого уравнения, т. е.

Отсюда с учетом (4.107) заключаем, что имеются две области устойчивых автоколебаний:

и (4.109)

Между ними лежит область неустойчивого периодического решения

(4.110)

где при начальных условиях, приводящих к отклонениям, которые больше амплитуды этого периодического решения, в системе получаются расходящиеся колебания.

Условие , где всегда имеют место устойчивые автоколебания, согласно (4.106), означает

, (4.111)

т. е. неустойчивую систему (4.110) можно сделать устойчивой автоколебательной системой путем усиления интенсивности введения производной в закон регулирования согласно (4.111). При этом необходимо параметры системы подобрать так, чтобы добиться достаточно малого значения амплитуды автоколебаний и приемлемой (по техническим условиям) частоты их.

Для вычисления амплитуды автоколебаний нужно сначала по формулам (4.96) записать решение для , и s, а именно:

Затем по последней из формул (4.104) надо записать решение для угла рыскания самолета и угла отклонения руля , что дает

(4.112)

По этим уравнениям можно построить графики автоколебаний самолета (17.16, б) и руля (17.16, в), причем

.

Амплитуда автоколебаний руля, как видно из рис. 17.16, в, будет

,

где с – скорость движения руля, согласно характеристике рис. 17.15.

Амплитуда автоколебаний самолета (по углу рыскания) найдется как максимум функции на участке . Взяв от y (4.112) производную по t и приравняв ее нулю, получаем следующее уравнение для определения времени , соответствующего максимуму :

, где

Это уравнение решается графически, как показано на рис. 17.16, г. Определив таким образом величину , подставляем ее в первую из формул (4.112), что и дает искомую амплитуду автоколебаний самолета

.

Частота же автоколебаний определяется через полупериод Т, найденный на основании уравнения (4.105) графически (рис. 17.16, а).

Заметим, что задача в данном примере ради простоты решена лишь для упрощенного уравнения движения самолета по курсу (первое из уравнений (4.101)) и в предположении строго постоянства скорости рулевой машинки.

4.3 Частотный метод В.М. Попова

Решение задачи об абсолютной устойчивости системы с одной однозначной нелинейностью (т. е. при любой форме этой нелинейности со слабым ограничением типа (4.54) или типа рис. 4.14) с помощью теорем прямого метода Ляпунова было проиллюстрировано на двух примерах в § 17.2.

Изложим теперь частотный метод, предложенный румынским ученым В.М. Поповым [97], при использовании которого та же задача решается более просто приемами, аналогичными частотным способам исследования устойчивости линейных систем.

Если в системе автоматического регулирования имеется лишь одна однозначная нелинейность

, (4.113)

то объединив вместе все остальные (линейные) уравнения системы, можно всегда получить общее уравнение линейной части системы (рис. 17.17, а) в виде

, (4.114)

где

причем будем считать, что .

Пусть нелинейность имеет любое очертание, не выходящее за пределы заданного угла (рис. 17.17, б), т. е. при любом х

. (4.115)

Пусть многочлен или, что то же, характеристическое уравнение линейной части имеет все корни с отрицательными вещественными частями или же кроме них имеется еще не более двух нулевых корней. Другими словами допускается, чтобы или и в выражении , т. е. не более двух нулевых полюсов в передаточной функции линейной части системы

.

Приведем без доказательства формулировку теоремы В.М. Попова: для установления устойчивости нелинейной системы достаточно подобрать такое конечное действительное число , при котором при всех

(4.116)

где – амплитудно-фазовая частотная характеристика линейной части системы. При наличии одного нулевого полюса требуется еще, чтобы

при ,