Уравнения динамики и динамические характеристики нелинейных (фрикционных) САУ 3 страница

где , .

Чувствительным элементом является трехстепенный гироскоп, поворачивающий рычаг заслонки в системе питания пневматической рулевой машинки на угол, пропорциональный углу отклонения торпеды. Следовательно, уравнение чувствительного элемента будет

, (4.41)

где – величина перемещения заслонки из нейтрального положения.

Будем считать, что поршень рулевой машинки 3 (рис. 1.20) при открытии заслонки, быстро получая полную скорость, мгновенно1) перебрасывает руль из одного крайнего положения в другое.

В таком приближенном представлении линейная часть системы ограничивается уравнениями (4.40) и (4.41). Единое уравнение линейной части системы потому будет

. (4.42)

рулевая машинка вместе с рулем (привод и регулирующий орган) представляет собой нелинейное звено, уравнение которого согласно вышесказанному можно представить либо в простейшем виде (рис. 16.18, а)

, (4.43)

либо, если имеется заметная зона нечувствительности (рис. 16.18, б), в виде

(4.44)

либо, если существенное значение имеет гистерезисная петля (рис. 16.18, в)

(4.45)

либо, наконец, в простейшем случае, но с запаздыванием (рис. 16.18, г)

(4.46)

где

, (4.47)

причем – время запаздывания срабатывания реле.

При исследовании системы в целом можно принять один из этих четырех вариантов в зависимости от того, какой из них лучше будет соответствовать свойствам данной релейной системы.

4.1.2 Уравнения систем с нелинейностью в виде сухого трения и зазора

Приведем примеры составления уравнений для нелинейных систем с сухим трением или зазором в механической передаче.

Следящая система с линейным и сухим трением. В § 5.7 составлены уравнения следящей системы в линейном виде. Рассмотрим теперь такой случай, когда к линейному моменту трения добавляется еще момент сухого трения , имеющий постоянную величину, равную некоторому значению с, и меняющий свое направление (знак) с изменением знака скорости вращения объекта р b (рис. 16.19). Следовательно, теперь уравнение управляемого объекта примет вид

, , , (4.48)

где b – угол поворота вала управляемого объекта, причем

(4.49)

Важная особенность сухого трения состоит в том, что это (в отличие от релейных характеристик) далеко не всегда означает мгновенное переключение величины при . Здесь возможны два варианта:

(4.50)

В первом случае скорость объекта пройдет через нулевое значение, и его движение будет продолжаться без остановки дальше по закону (4.48). Во втором же случае произойдет остановка управляемого объекта, в течение которой будет иметь место не переключение, а медленное изменение величины в интервале от (или обратно) будет принимать все время определенные значения

. (4.51)

В этом случае движение возобновиться снова только тогда, когда вращающий момент достигнет значения и превысит его.

Если же остается , то система будет неподвижна. Поэтому положение равновесия управляемого объекта оказывается неопределенным внутри некоторого отрезка, а именно, при любом значении . Этим определяется зона застоя системы. Застой проявляется в том, что, с одной стороны, система не будет двигаться при изменении угла задатчика в определенном интервале и, с другой стороны, что система будет обладать ошибкой из-за сухого трения в положении равновесия. В процессе же движения системы в одну сторону с любой скоростью сухое трение внесет постоянную ошибку одного знака, что соответствует как бы дополнительной внешней нагрузке .

Итак, уравнение управляемого объекта, как нелинейного звена системы, согласно (4.48) и (4.49) с учетом (4.50) будет иметь вид

(4.52)

Уравнения всех остальных звеньев данной следящей системы в совокупности образуют линейную часть системы, единое уравнение которой для свободного движения упрощенно запишем в виде

(4.53)

Следящая система с зазором. Предположим теперь, что в той же самой следящей системе нелинейность заключается не в сухом трении, а в наличии зазоров в силовой механической передаче между двигателем и управляемым объектом. Все эти зазоры объединим в один и изобразим его условно в виде вилки со свободным входом . Таким образом, между двигателем и управляемым объектом вклинивается теперь новое нелинейное звено, изображенное на рис. 16.20, а, входную величину которого обозначим через .

Характеристика этого нелинейного звена изображена на рис. 16.20, б. смысл ее следующий. Если бы не было зазора, то равнялось бы , и характеристикой была бы прямая под углом 45°, изображенная на рис. 16.20, б штрих-пунктиром. Вследствие зазора при движении в сторону возрастания угла эта прямая сдвинется вправо на величину (поводок прижмется к правой стороне вилки). При изменении направления движения сначала поводок будет перемещаться внутри зазора, не двигая вилку (). На характеристике это соответствует горизонтальному отрезку длиной (AB или EF или KL или другие, в зависимости от фактического значения в это время). Затем начнет двигаться и вилка, что будет соответствовать прямой BC, сдвинутой влево от начала координат на величину .

При равновесии системы поводок и вилка могут занимать любое относительное положение внутри зазора, что вызывает ошибку системы из-за зазора, равную . При движении системы в одну из сторон будет постоянное отставание объекта из-за зазора на величину , не считая того отставания, которое будет еще из-за нагрузки.

Уравнение управляемого объекта, включающего в себя и двигатель, теперь разобьется на два нелинейных. Первое нелинейное уравнение управляемого объекта с двигателем будет (ограничимся учетом одной постоянной времени)

(4.54)

(соответственно с поводком, прижатым к вилке, и с поводком, свободно двигающимся внутри зазора); меньше на величину , где – момент инерции управляемого объекта. Кроме этого, надо написать второе уравнение нелинейного звена с зазором, соответствующее характеристике рис. 16.20, б:

(4.55)

Следовательно, управляемый объект будет иметь остановки при своих колебаниях, соответствующие участкам АВ, CD и т. д. характеристики рис. 16.20, б.

Линейная часть системы остается такой же, как в предыдущем примере, т. е. (4.53).

Система автоматического регулирования давления (учет сухого трения). Рассмотрим систему (рис. 14.7), уравнения которой в линейном виде были получены в § 14.2. в чувствительном элементе 2 масса незначительна, но зато существенное значение может иметь сухое трение. Поэтому уравнение движения штока мембраны запишется в виде

, (4.56)

где – сила сухого трения, имеющая постоянную величину с, меняющая направление при изменении знака скорости ру (рис. 16.21, а) и могущая принимать любые значения во время остановки, т. е.

(4.57)

Р – сила давления воздуха камеры на мембрану; – упругая сила мембраны; – сила пружины.

В результате после перехода к безразмерным относительным отклонениям (14.27) и (14.48), получим вместо (14.47) следующее уравнение чувствительного элемента как нелинейного звена:

(4.58)

где ; – площадь мембраны; – номинальное давление в камере.

Построим характеристику этого нелинейного звена с сухим трением в координатах . Легко видеть, что первое из уравнений (4.58) соответствует прямым DA и BC при и , а второе уравнение – отрезкам АВ, CD, EF, GH и т. п. на рис. 16.21, б. Из сравнения рис. 16.21, б и рис. 16.20, б видно, что сухое трение в таком нелинейном звене (без массы) эквивалентно зазору, половина которого равна , чего совершенно нельзя сказать о сухом трении в следящей системе, где учитывалась масса (момент инерции).

Все остальные звенья системы (рис. 14.7) образуют линейную часть, единое уравнение которой при будет

. (4.59)

4.1.3 Уравнения систем с нелинейностями других видов

Рассмотрим несколько примеров автоматических систем с нелинейностями других видов, чем в §§ 16.2 и 16.3.

Система автоматического регулирования с нелинейной характеристикой привода регулирующего органа. Привод регулирующего органа, каким бы он ни был (электрический, гидравлический, пневматический), всегда имеет, во-первых, некоторую зону нечувствительности в начале координат (рис. 16.22, а) и во-вторых, зону «насыщения» по краям. Кроме того, может иметь место еще и гистерезис (рис. 16.22, г). Эти две криволинейные характеристики могут быть приближенно заменены кусочно-линейными функциями (рис. 16.22, б, д или в, е, и). Наконец, существуют приводы с постоянной скоростью (рис.16.22, з, ж), относящиеся к нелинейным звеньям релейного типа, уже рассмотренным ранее.

Зона нечувствительности выражается в том, что электрический двигатель имеет определенный минимальный ток трогания (), до достижения которого вал двигателя будет неподвижен (). В гидравлическом же двигателе золотник имеет так называемую зону перекрытия (его поршенек немного шире отверстия, им закрываемого), вследствие чего он откроет путь рабочей жидкости в цилиндр двигателя, только переместившись не некоторую величину . Аналогично и в случае пневматического привода.

Зона насыщения обнаруживается в том, что при увеличении тока сверх некоторого значения скорость перемещения регулирующего органа остается постоянной (); также и для гидравлического двигателя при , когда окна золотника полностью открыты.

Термины «насыщение» и «гистерезис» применяются здесь в обобщенном смысле для обозначения нелинейностей определенного типа: они необязательно соответствуют физическим явлениям насыщения и гистерезиса.

Уравнение привода регулирующего органа с учетом указанных обстоятельств вместо прежнего линейного будет иметь нелинейный вид:

, (4.60)

где есть нелинейная функция, задаваемая графиком (рис. 16.22, а или г). для электрических приводов можно записать

. (4.61)

В приближенном кусочно-линейном виде (рис. 16.22, б), уравнение (4.60) записывается следующим образом

(4.62)

В случае наличия гистерезиса (рис. 16.22, д) придется написать два ряда таких же выражений с разными значениями и : один – для движения вправо () и другой – для движения влево (). Этим определяется уравнение привода регулирующего органа как нелинейного звена. Уравнение линейной части составляется обычным способом в зависимости от того, в какой конкретно автоматической системе этот привод применен.

Следящая система с линейным и квадратичным трением. В § 16.3 была рассмотрена следящая система с линейным и сухим трением. Пусть теперь управляемый объект в той же следящей системе обладает кроме линейного еще квадратичным трением, т. е. уравнение объекта имеет вид

,

где

,

(рис. 16.23). Тогда уравнение управляемого объекта, как нелинейного звена будет

. (4.63)

Уравнение линейной части системы в полном виде по-прежнему будет (4.53).

Система автоматического регулирования с переменным коэффициентом усиления. В ряде случаев для повышения качества процесса регулирования бывает желательно, чтобы воздействие на регулируемый орган было не пропорциональным отклонению регулируемой величины, а усиливалось или ослаблялось при увеличении этого отклонения (нелинейный закон регулирования). Примерами такого воздействия с переменным коэффициентом усиления могут служить характеристики с ограниченной линейностью или с насыщением (рис. 16.22, а) Однако они дают уменьшение коэффициента усиления при увеличении отклонения. Рассмотрим теперь два примера характеристик с переменным коэффициентом усиления, который увеличивается при увеличении отклонения.

Уравнение нелинейной части привода регулирующего органа будет в случае характеристики рис. 16.24, а

(4.64)

а в случае характеристики 16.24, б

. (4.65)

Все рассмотренные примеры иллюстрируют случай, когда общая схема системы имеет вид рис. 16.1, т. е. случай нелинейной системы первого класса (кроме случая сухого трения в следящей системе при наличии остановок). Комбинации нелинейностей приводят к нелинейным системам второго и третьего классов (см. главу 18).

Система автоматического регулирования с логическим устройством. Пусть динамика регулируемого объекта (рис. 16.25) описывается уравнением

. (4.66)

Уравнения измерителей

, . (4.67)

Уравнение усилителя-преобразователя с логическим устройством

. (4.68)

Уравнение исполнительного устройства

. (4.69)

Кроме того, должна быть задана логика формирования нелинейного закона регулирования , которая может быть назначена или синтезирована в очень разнообразных формах для обеспечения простоты и надежности аппаратуры, наибольшего быстродействия, наименьшей затраты энергии на управление, учета ограничения мощности источника энергии и специфики желательных режимов его работы и т. п.

Выбранную тем или иным образом логику формирования нелинейного закона управления можно записывать в аналитической форме. Однако во многих случаях удобно изображать ее графически на плоскости входных величин логического устройства .

Для примера рассмотрим простейшую логику (рис. 16.26). Смысл ее заключается в следующем. Величины и , согласно уравнениям (4.67) с точностью до постоянных времени соответствуют отклонению регулируемой величины х и ее первой производной по времени рх. Поэтому наличие порогового значения соответствует тому, что при малых х исполнительное устройство не работает (). Не работает оно также и при больших отклонениях х, но только тогда, когда имеется достаточная по величине скорость рх (соответствующая превышению порога ) со знаком, противоположным знаку х, ибо в этом случае отклонение х уменьшается по величине само собой даже при не работающем исполнительном устройстве системы управления. Исполнительное устройство включается ( или , рис. 16.26) только тогда, когда при достаточно больших отклонениях х () скорость рх имеет тот же знак (т. е. отклонение возрастает по величине) либо, когда скорость рх имеет противоположный знак, но мала ().

Система с переменной структурой. Как уже указывалось в начале книги (§ 2.3), системы с переменной структурой содержат в себе специальное переключающее устройство для изменения структуры регулятора, которое срабатывает в зависимости от размеров и знаков входных величин.

Примеры переключающихся устройств приведены схематически на рис. 16.27, где КЭ – ключевой элемент, БИС – блок изменения структуры. Уравнение принято [42] записывать в виде

. (4.70)

Функция может строиться по-разному. Например, (рис. 16.27, а),

(4.71)

Для случаев, указанных на рис. 2.9 и 2.10, будем иметь (рис. 16.27, б)

(4.72)

Под символами a и b могут также иметься в виду различные выражения:

в простейшем случае постоянные

, , (4.73)

в другом случае

, (4.74)

и любые другие, в том числе и нелинейные.

Основная же характерная нелинейность здесь состоит в самом факте автоматического переключения в зависимости от состояния входных величин.

4.2 Точные методы исследования устойчивости и автоколебаний

4.2.1 Фазовые траектории и метод точечных преобразований

Понятие о фазовом пространстве, фазовых траекториях и их типах было уже дано выше. В данном параграфе на примерах построения фазовых траекторий для простейших систем второго порядка будут проиллюстрированы некоторые важные особенности процессов в нелинейных системах автоматического регулирования.

Пример 1. Возьмем систему автоматического регулирования с объектом без самовыравнивания и с приводом регулирующего органа, имеющим постоянную скорость. Уравнение регулируемого объекта без самовыравнивания будет

. (4.1)

Для регулятора без массы и демпфера с жесткой обратной связью, т. е. при , , , получим

, (4.2)

где – относительные изменения регулируемой величины, смещений чувствительного элемента, регулирующего органа, элемента обратной связи и управляющего золотника (рис. 10.11, а), – коэффициент. Привод регулирующего органа пусть имеет постоянную скорость в двух вариантах: 1) с мгновенным переключением (рис. 16.22, ж) при переходе управляющего элемента (золотника, струйной трубки) через нейтральное положение (); 2) с зоной нечувствительности (16.22, з) вследствие наличия «перекрытия» золотника или струйной трубки. В первом случае уравнение привода регулирующего органа будет

, (4.3)

а во втором

(4.4)

Возьмем фазовую плоскость (х, у), приняв

х = j, у = р j. (4.5)

из уравнений (4.1), (4.2) и (4.5) имеем

, . (4.6)

Следовательно, переключения привода в первом варианте (s = 0) будут иметь место при

, (4.7)

что соответствует прямой АВ (рис. 17.1, а) на фазовой плоскости, причем, согласно (4.6) значениям соответствует часть плоскости слева от прямой АВ, а – справа.

На основании первого из соотношений (4.6) с учетом (4.3) при получаем

, (4.8)

а из (4.5)

, (4.9)

откуда находим уравнения фазовых траекторий

(4.10)

или, после интегрирования,

. (4.11)

Это есть семейство парабол, показанное на рис. 17.1, а справа от линии АВ (они симметричны относительно оси х). Так как (4.8) и (4.9) являются проекциями скорости изображающей точки М на оси х и у, то имеем , а знак совпадает со знаком у. В соответствии с этим на рис. 17.1, а укажем стрелочками направление движения изображающей точки М по фазовым траекториям. Аналогичным путем легко строятся параболы слева от прямой АВ.