Уравнения динамики и динамические характеристики нелинейных (фрикционных) САУ 1 страница

4.1 Составление уравнений нелинейных систем

автоматического регулирования

Нелинейной системой автоматического регулирования называется такая система, которая содержит хотя бы одно звено, описываемое нелинейным уравнением. Перечислим виды нелинейных звеньев:

1) звено релейного типа (рис. 1.12);

2) звено с кусочно-линейной характеристикой (рис. 1.10, д и др.);

3) звено с криволинейной характеристикой любого очертания;

4) звено, уравнение которого содержит произведение переменных или их производных и другие их комбинации;

5) нелинейное звено с запаздыванием, причем запаздывание понимается в смысле § 14.1, а нелинейность может иметь любой вид;

6) нелинейное импульсное звено;

7) логическое звено;

8) звенья, описываемые кусочно-линейными дифференциальными уравнениями, в том числе переменная структура.

Различают статические и динамические нелинейности. Первые представляются в виде нелинейных статических характеристик, а вторые – в виде нелинейных дифференциальных уравнений.

Общий метод составления уравнений для нелинейных систем состоит в следующем. Сначала по правилам § 3.1 как делалось в главе 5, производится линеаризация уравнений всех звеньев системы, для которых это допустимо, кроме существенно-нелинейных звеньев (чаще, одного–двух). Затем составляются уравнения этих последних звеньев со всеми допустимыми упрощениями их характеристик.

В результате получается система обыкновенных линейных уравнений, к которым добавляется одно–два (иногда более) нелинейных. В соответствии с этим обобщенную структурную схему любой нелинейной системы автоматического регулирования в случае одного нелинейного звена можно представить в виде рис. 16.1, а, где линейная часть может иметь структуру любой сложности (с обратными связями и т.п. как например на рис. 16.1, б или в). В случае двух нелинейных звеньев могут быть разные комбинации, в зависимости от того, в какие цепи они входят (см., например, рис. 16.2).

Часто при исследовании систем автоматического регулирования удается выделит нелинейность так, чтобы она описывалась непосредственно зависимостью между выходной и входной величинами

, (4.1)

которая может иметь любую форму (релейного типа, кусочно-линейного или криволинейного). Но иногда, как будет показано в следующих параграфах, не удается этого сделать, и приходится исследовать нелинейные дифференциальные зависимости вида

, , (4.2)

, и т.п. (4.3)

Встречаются и более сложные случаи, когда обе величины (входная и выходная) оказываются под знаком нелинейной функции раздельно:

, , (4.4)

или же вместе:

, . (4.5)

Разделим все нелинейные системы регулирования на два больших класса.

1. К первому классу нелинейных систем отнесем такие, в которых уравнение нелинейного звена приводится к любому из видов (4.1)–(4.3), т. е. когда под знаком нелинейной функции стоит только входная величина (и ее производные) либо только выходная величина (и ее производные). При этом имеется в виду, что схема системы в целом может быть приведена к виду рис. 16.1 с одним нелинейным звеном. К этому классу сводится, например, также случай с двумя нелинейными звеньями, указанный на рис. 16.2, в, так как там они могут быть объединены в одно нелинейное звено. Сюда же относится и случай, показанный на рис. 16.2, г, где имеются два нелинейных звена (если их уравнения содержат под знаком нелинейности только входную величину , например, вида (4.1) или (4.2)).

2. Второй класс нелинейных систем включает системы с любым числом нелинейных звеньев, когда под знаки нелинейных функций входят различные переменные, связанные между собой линейной передаточной функцией. Так будет в случае системы с одним нелинейным звеном вида (4.4) или (4.5), а также в системе с двумя нелинейными звеньями (рис. 16.2, в или г), если в первом из них под знак нелинейности входит входная величина, а во втором – выходная. Система же рис. 16.2, б относится ко второму классу, если под знаки нелинейности входят в обоих звеньях либо только входные, либо только выходные величины нелинейных звеньев.

Ко второму классу нелинейных систем относятся также системы с двумя и более нелинейностями, в уравнениях которых под знаки нелинейных функций входят разные переменные, связанные между собой нелинейными дифференциальными (т. е. связанные между собой через линейные части и нелинейные звенья). К таким системам относятся, например, система на рис. 16.2, а, если в ее уравнениях под знаками нелинейных функций находятся входные (или выходные) величины обоих нелинейных звеньев, и многие другие системы.

Системы с логическими устройствами относятся, обычно к нелинейным системам второго класса.

Заметим, что во всех случаях, когда под знак нелинейной функции входит какая-либо линейная комбинация разных переменных, их следует обозначать одной буквой, а данную линейную комбинацию учесть при составлении равнения линейной части системы. Это бывает, например, в тех случаях, когда на вход нелинейного звена подаются производные или включается обратная линейная связь. Так, если для рис. 16.1, б

,

то обозначая

, (4.6)

можно привести уравнение нелинейного звена к виду (4.1).

Из всех уравнений линейных звеньев, а также добавочных линейных выражений типа (4.6), получаемых при выделении нелинейности, составляет общее уравнение линейной части системы

, (4.7)

где и – операторные многочлены или передаточная функция линейной части системы

. (4.8)

Составление уравнений будет проиллюстрировано ниже на примерах.

Процессы в нелинейных системах автоматического регулирования имеют целый ряд весьма существенных особенностей, которые не встречаются в линейных системах.

Благодаря этим существенным особенностям вопрос об устойчивости становится здесь более сложным. Кроме структуры системы и значений ее параметров для устойчивости того или иного установившегося процесса имеют значение здесь, в отличии от линейных систем, также и –начальные условия. Возможен новый вид установившегося процесса – автоколебания, т.е. устойчивые собственные колебания с постоянной амплитудой при отсутствии внешних колебательных воздействий. Когда в системе возникают автоколебания, то установившееся состояние, соответствующее постоянному значению регулируемой величины, часто становится невозможным.

Следовательно, в общем случае на плоскости параметров системы могут быть не два вида областей (устойчивости и неустойчивости), как в линейных системах, а больше: 1) область устойчивости равновесного состояния с постоянным значением регулируемой величины; 2) область устойчивых автоколебаний; 3) область неустойчивости системы; 4) области, соответствующие другим, более сложным случаям.

Если процессы в системе имеют вид, указанный на рис. 16.3, а, то равновесное состояние () неустойчиво. В этом случае, когда оба указанных на рис. 16.3, а колебания в переходных процессах стремятся к одной и той же амплитуде и к одной и той же частоте, система будет обладать устойчивыми автоколебаниями с амплитудой а.

На рис. 16.3, б и в показаны случаи, когда равновесное состояние () системы устойчиво «в малом», то есть при начальных условиях, не выводящих отклонения в переходном процессе за определенную величину а, и неустойчиво «в большом», то есть при начальных условиях, выводящих отклонение в переходном процессе за пределы величины а. Здесь граничным процессом является неустойчивый периодический процесс собственного движения системы с амплитудой а (переходные процессы расходятся от его в обе стороны).

На рис. 16.3, г показан случай трех возможных установившихся состояний: 1) равновесное состояние (); 2) колебания с постоянной амплитудой ; 3) колебания с постоянной амплитудой . При этом колебания с амплитудой неустойчивы. В результате система будет устойчива «в малом» по отношению к равновесному состоянию , а «в большом» система будет обладать устойчивыми автоколебаниями в амплитудой .

Пример. Для иллюстрации особенностей нелинейной системы исследуем переходный процесс и автоколебания в релейной системе автоматического регулирования температуры, изображенной на рис. 1.35. для этого составим сначала уравнение регулируемого объекта и регулятора.

Пусть регулируемый объект представляет собой некоторую камеру. Учитывая инерционность процесса нагрева и охлаждения, запишем уравнение регулируемого объекта в виде

, (4.9)

где – отклонение температуры; – отклонение регулирующего органа; – внешние возмущения.

При отклонении температуры появляется ток в диагонали моста того или иного направления (рис. 1.35) и замыкается тот или иной контакт реле 3, включающего постоянное напряжение в ту или иную обмотку возбуждения 4 электродвигателя 5. Приняв во внимание некоторое отставание в этом процессе включения, получим релейную характеристику вида г рис. 1.36. Далее, считая, что ток пропорционален отклонению температуры объекта , а скорость отклонения регулирующего органа 6 пропорциональна напряжению на обмотках возбуждения электродвигателя, можно в данном случае выходной величиной для указанной релейной характеристики считать прямо , а входной – (рис. 16.4, а).

Следовательно, уравнение регулятора запишется здесь следующим образом:

(4.10)

(4.11)

Рассмотрим два произвольных участка переходного процесса (при ) в данной системе (участки АВ и BD на рис. 16.4, б).

На участке АВ уравнение регулятора согласно рис. 16.4, в будет . Дифференцируя (4.9) по и подставляя туда + с, получаем при следующее уравнение системы автоматического регулирования на участке АВ:

, (4.12)

а на участке BD

. (4.13)

Решение уравнения (4.12) будет

, (4.14)

откуда получаем

. (4.15)

Условимся для простоты отсчитывать время от начала участка АВ (рис. 16.5, а). Тогда начальные условия будут

, при ,

где пока неизвестно. Используя начальные условия, находим произвольные постоянные для уравнения (4.15):

, . (4.16)

Аналогично для участка BD согласно (4.13), отсчитывая время тоже от начала этого участка (рис. 16.5, б), получим решение

(4.17)

Все остальные участки кривой переходного процесса будут определяться, очевидно, такими же решениями, но только с другими значениями величин , , , , , . Заметим, что величины и , необходимые для определения произвольных постоянных, находятся как значения в конце предшествующих им участков. Поэтому, если будут задана величина в начальной точке первого участка процесса, то все вышеописанное решение для переходного процесса в системе станет определенным. Такой метод решения задачи называется методом припасовывания.

Выясним теперь, возможны ли в данной системе автоколебания, т. е. устойчивое периодическое решение. Для этого нужно, очевидно, чтобы в конце D одного периода колебаний (рис. 16.4, б) получились точно такие же значения и , какие были в начале его А. Легко заметить, что при этом оба полупериода (AB и BD) должны быть одинаковыми вследствие симметрии характеристики (рис. 16.4, а). Поэтому для определения автоколебаний достаточно рассмотреть только один участок АВ и потребовать, чтобы

. (4.18)

обозначив период искомых автоколебаний через 2 Т, а длительность участка АВ, следовательно, через Т, из (4.14) найдем

.

Подставляя сюда (4.18) и замечая, что из (4.16) , получаем выражение

, (4.19)

которое содержит две неизвестные: и Т. Величину Т (длительность участка АВ) можно выразить из (4.15), так как известно, что в конце участка . Из (4.15) и (4.16) при этом находим

.

Подставив сюда значение из (4.19), получим уравнение для определения периода автоколебаний:

. (4.20)

Это трансцендентное уравнение для Т легко решается графически (рис. 16.6) пересечением двух кривых

и .

Если найдено вещественное положительное значение для Т, то это свидетельствует о наличии периодического решения в данной системе. Чтобы доказать, что это соответствует автоколебаниям, нужно исследовать их устойчивость, т. е. показать, что в переходном процессе система ведет себя, как изображено на рис. 16.3, а, но не так, как на рис. 16.3, б. Это будет показано ниже.

Амплитуда найденных автоколебаний определяется как на участке АВ (рис. 16.5, а) путем исследования функций (4.15) на максимум обычным путем.

Фазовое пространство. Для наглядного представления о сложных нелинейных процессах регулирования часто прибегают к понятию фазового пространства, которое заключается в следующим. Дифференциальное уравнение замкнутой системы автоматического регулирования п -го порядка можно преобразовать к системе п дифференциальных уравнений первого порядка в виде

(4.21)

с начальными условиями , , …, при , где – переменные, являющиеся искомыми функциями времени, причем может обозначать регулируемую величину, а – вспомогательные переменные; и – возмущающее и задающее воздействия.

Пусть, например, в уравнениях (4.21) будет п = 3 (система третьего порядка). Переменные здесь могут иметь любой физический смысл, но условно их можно представить мысленно, как прямоугольные координаты некоторой точки М (рис. 16.7, а).

В реальном процессе регулирования в каждый момент времени величины имеют вполне определенные значения. Это соответствует вполне определенному положению точки М в пространстве (рис. 16.7, а). С течением времени в реальном процессе величины определенным образом изменяются. Это соответствует определенному перемещению точки М в пространстве по определенной траектории. Следовательно, траектория движения точки М может служить наглядной геометрической иллюстрацией динамического поведения системы в процессе регулирования.

Точка М называется изображающей точкой, ее траектория называется фазовой траекторией, а пространство () называется фазовым пространством.

Так как производные по времени от координат точки представляют проекции ее скорости на оси координат, то дифференциальные уравнения системы в форме (4.21) представляют собой выражения для проекции скорости изображающей точки М (рис. 16.7, а) на оси координат. Следовательно, по значениям правых частей уравнений (4.21) в каждый момент времени можно судить о направлении движения изображающей точки М, а вместе с тем и о поведении соответствующей реальной системы в процессе регулирования.

Начальные условия процесса регулирования () определяют координаты начальной точки фазовой траектории (рис. 16.7, а).

Если переменных в уравнении (4.21) будет всего две: и (система второго порядка), то изображающая точка будет двигаться не в пространстве, а на плоскости (фазовая плоскость).

Если переменных будет любое число п > 3 (система п -го порядка), то фазовое пространство будет не трехмерным, а п -мерным.

Итак, фазовое пространство и фазовые траектории представляют собой лишь геометрический образ динамических процессов, протекающих в системе. В этом геометрическом представлении участвуют координаты и исключено время. Фазовая траектории сама по себе дает лишь качественное представление о характере поведения системы. Чтобы определить количественно положение изображающей точки, а значит, и состояние системы в любой момент времени, нужно найти решение заданных дифференциальных уравнений (4.21) во времени.

Если уравнения (4.21) составлены в отклонениях от установившегося состояния, то последнее характеризуется значениями . Следовательно, изображением установившегося состояния системы является начало координат фазового пространства.

Отсюда вытекает, что фазовые траектории устойчивой линейной системы будут асимптотически приближаться к началу координат при неограниченном увеличении времени. Фазовые траектории неустойчивой линейной системы будут неограниченно удаляться от начала координат.

Для нелинейной системы вследствие ряда особенностей процессов, отмечавшихся выше, фазовые траектории могут принимать самые разнообразные очертания. Если имеется асимптотическая устойчивость для определенного круга начальных условий, то все фазовые траектории, которые начинаются внутри определенной области , окружающей начало координат фазового пространства (рис. 16.7, б), будут асимптотически приближаться к началу координат. Если устойчивость неасимптотическая, то фазовые траектории, начинающиеся внутри определенной области вокруг начала координат фазового пространства, могут иметь любые очертания, но не будут выходит за пределы некоторой определенной области , окружающей начало координат (рис. 16.7, б).

Формулировка понятия устойчивости по Ляпунову. Невозмущенное движение (установившийся процесс) называется устойчивым, если при заданной сколь угодно малой области (рис. 16.7, б) можно найти такую область , что при начальных условиях, расположенных внутри этой области, возмущенное движение (переходной процесс) будет таким, что изображающая точка не выйдет из области при любом сколь угодно большом значении времени .

В аналитической записи формулировка понятия устойчивости по Ляпунову будет следующей. Невозмущенное движение (установившийся процесс) будет устойчивым, если при заданных положительных сколь угодно малых числах можно найти такие положительные числа ( 1, …, п), что при начальных условиях

, ( 1, …, п) (4.22)

решение дифференциальных уравнений возмущенного движения (переходного процесса) удовлетворяет неравенствам

, ( 1, …, п)

при любых сколь угодно больших , начиная с .

Представим себе для этой аналитической записи геометрический образ в фазовом пространстве. Очевидно, что при ограничении начальных условий по каждой координате неравенствами (4.22) получается п -мерный параллелепипед со сторонами , внутри которой должна лежать начальная точка фазовой траектории . На фазовой плоскости (п = 2) он обращается в прямоугольник. Аналогично и второе из написанных неравенств геометрически означает, что фазовые траектории не должны выходить из параллелепипеда со сторонами .

В формулировке Ляпунова содержится требование сколь угодной малости указанных областей. Однако практически это определение, также, как и теоремы Ляпунова, которые будут приведены ниже, применяется и тогда, когда эти области имеют определенные конечные размеры.

Фазовые траектории для обыкновенных линейных систем. Пусть переходной процесс в некоторой системе описывается уравнением второго порядка

. (4.23)

Введем обозначение для скорости изменения отклонения регулируемой величины . Тогда уравнение системы (4.23) преобразуется к виду

(4.24)