Уравнения, не содержащие независимой переменной

Уравнения вида

(9.31)

допускает понижение порядка на единицу, если вместо у ввести новую искомую функцию z по формуле

и т.д.

и принять у за новую независимую переменную, .

Пример 9.7. Проинтегрировать уравнение

Решение. Полагая и принимая у за новую независимую переменную, получим

тогда исходное уравнение примет вид

Полагаем , тогда

.

Разделим обе части этого уравнения на у; при этом отметим, что мы мобем потерять решение у = 0. Итак, имеем

Интегрируя это выражение, получим

, ,

откуда

Интегрируя, получим общий интеграл исходного уравнения

Он содержит две произвольные постоянные. Разрешив его относительно у, мы получим общее решение исходного дифференциального уравнения. Легко видеть, что функция у = 0 – не будет входить в формулу общего решения. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что у = 0 - решение исходного уравнения.

Таким образом, общим решением исходного уравнения будет система, состоящая из общего интеграла и частного решения у = 0.