Понятие о дифференциальном уравнении

Определение 9.1. Соотношение вида

(9.1)

где F – известная функция своих аргументов, заданная в некоторой фиксированной области, x – независимая переменная, y – зависимая переменная, т.е. функция переменной х, подлежащая определению, - ее производные, называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

Определение 9.2. Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в него.

Так, порядок уравнения

(9.2)

равен двум. Уравнение п -го порядка всегда можно записать в виде (8.1).

Наряду с уравнением (9.1) будем рассматривать дифференциальное уравнение вида

, (9.3)

т.е. дифференциальное уравнение п-го порядка, разрешенное относительно старшей производной. Это уравнение называется дифференциальным уравнением п-го порядка в нормальной форме.

Основные понятия.

Определение 9.3. Общим решениемдифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция y = j(x, C) которая при подстановке в исходное уравнение обращает его в тождество.

Т.к. постоянная С – произвольная величина, то вообще говоря дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений.

Например, дифференциальное уравнение

(9.4)

имеет решение

(9.5)

Действительно, подставляя (9.5) в (9.4), получим тождество.

Функция (9.5) дает решение уравнения (9.4) в виде, разрешенном относительно у, т.е. у есть явная функция от х. Кроме того, в этом случае у составлено из известных элементарных функций аргумента х. Такая форма решения не является необходимой. Действительно, выражение

(9.6)

точно так же представляет решение (9.4), хотя оно не разрешено относительно у и представляет у как неявную функцию х.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения.

Основная задача теории дифференциальных уравнений состоит в нахождении всех решений данного уравнения и изучении свойств этого решения.

Определение 9.4. Начальной задачей или задачей Коши(Огюстен Луи Коши (1789-1857)- французский математик) называется нахождение решения дифференциального уравнения, принимающее заданное значение при заданном значении независимой переменной.

В общем случае для уравнения первого порядка вида

(9.7)

начальная задача ставится так: требуется найти решение

(9.8)

уравнения (8.7), удовлетворяющее начальному условию

при (9.9)

При этом предполагаем, что правая часть уравнения (9.7) определена в некоторой окрестности точки .

Т.о., мы определяем начальную задачу как совокупность уравнения и начального условия. Решение задачи (9.7), (9.9) будем записывать в виде

у = j(х, х₀, у₀) (9.10)

или у = j(х, С₀)

Определение 9.5. Решение вида (9.10) называется частным решениемдифференциального уравнения.

Теорема 9.1 (Теорема Коши.) Если функция f(x, y) непрерывна в некоторой области D в плоскости XOY и имеет в этой области непрерывную частную производную , то какова бы не была точка (х₀, у₀) в области D, существует единственное решение уравнения , определенное в некотором интервале, содержащем точку х₀, принимающее при х = х₀ значение j(х₀) = у₀, т.е. существует единственное решение дифференциального уравнения.

Определение 9.6. Интеграломдифференциального уравнения называется любое уравнение, не содержащее производных, для которого данное дифференциальное уравнение является следствием.

Пример 9.1. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Общее решение дифференциального уравнения ищется с помощью интегрирования левой и правой частей уравнения, которое предварительно преобразовано следующим образом:

Теперь интегрируем:

Значит - это общее решение исходного дифференциального уравнения.

Допустим, заданы некоторые начальные условия: x₀ = 1; y₀ = 2, тогда имеем

При подстановке полученного значения постоянной в общее решение получаем частное решение при заданных начальных условиях (решение задачи Коши).

.

Определение 9.7. Особым решениемдифференциального уравнения называется такое решение, во всех точках которого условие единственности Коши не выполняется, т.е. в окрестности некоторой точки (х, у) существует не менее двух интегральных кривых.

Особые решения не зависят от постоянной С.

Особые решения нельзя получить из общего решения ни при каких значениях постоянной С. Если построить семейство интегральных кривых дифференциального уравнения, то особое решение будет изображаться линией, которая в каждой своей точке касается по крайней мере одной интегральной кривой.

Отметим, что не каждое дифференциальное уравнение имеет особые решения.

Пример 9.2. Найти общее решение дифференциального уравнения: Найти особое решение, если оно существует.

Решение.

,

интегрируем

Данное дифференциальное уравнение имеет также особое решение у = 0. Это решение невозможно получить из общего, однако при подстановке в исходное уравнение получаем тождество. Мнение, что решение y = 0 можно получить из общего решения при С₁ = 0 ошибочно, ведь C₁ = e^C ¹ 0.

Далее рассмотрим подробнее приемы и методы, которые используются при решении дифференциальных уравнений различных типов.