Линейные дифференциальные уравнения

Определение 9.10. Дифференциальное уравнение называется относительно неизвестной функции и ее производной, если оно может быть записано в виде:

(9.14)

при этом, если правая часть Q(x) равна нулю, то такое уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением, если правая часть Q(x) не равна нулю, то такое уравнение называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением.

P(x) и Q(x)- функции непрерывные на некотором промежутке a < x < b.

Рассмотрим методы нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения первого порядка вида

. (9.15)

Для этого типа дифференциальных уравнений разделение переменных не представляет сложностей.

Общее решение: (9.16)

Для интегрирования линейных неоднородных уравнений (Q(x)¹0) применяются в основном два метода: метод Бернулли (Якоб Бернулли (1654-1705) – швейцарский математик) и метод Лагранжа (Ларганж Жозеф Луи (1736-1813) - французский математик).

Суть метода Бернулли заключается в том, что искомая функция представляется в виде произведения двух функций

. (9.17)

При этом очевидно, что - дифференцирование по частям.

Подставляя в (9.14), получаем:

(9.18)

Далее следует важное замечание – т.к. первоначальная функция была представлена нами в виде произведения, то каждый из сомножителей, входящих в это произведение, может быть произвольным, выбранным по нашему усмотрению. Например, функция может быть представлена как

и т.п. Таким образом, можно одну из составляющих произведение функций выбрать так, что выражение

.

Таким образом, возможно получить функцию u, проинтегрировав, полученное соотношение как однородное дифференциальное уравнение по описанной выше схеме:

(9.19)

Для нахождения второй неизвестной функции v подставим (9.19)в (9.18) с учетом того, что выражение, стоящее в скобках, равно нулю.

Интегрируя, можем найти функцию v:

; ;

Т.е. была получена вторая составляющая произведения , которое и определяет искомую функцию.

Подставляя полученные значения, получаем:

Окончательно получаем формулу:

, (9.20)

С₂ - произвольный коэффициент.

Это соотношение может считаться решением неоднородного линейного дифференциального уравнения в общем виде по способу Бернулли.

Метод Лагранжа решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений еще называют методом вариации произвольной постоянной.

Вернемся к уравнению (9.14)

Первый шаг данного метода состоит в отбрасывании правой части уравнения и замене ее нулем.

(9.21)

Далее находится решение получившегося однородного дифференциального уравнения (9.16):

.

Для того, чтобы найти соответствующее решение неоднородного дифференциального уравнения, будем считать постоянную С₁ некоторой функцией от х. Тогда по правилам дифференцирования произведения функций получаем:

(9.22)