Однородная система п линейных уравнений, с n неизвестными

Линейное уравнение называется однородным, если его свободный член равен нулю. Система линейных уравнений называется однородной, если все входящие в нее уравнения являются линейными однородными уравнениями.

Однородная система п линейных уравнений с п неизвестными имеет вид:

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + …+ а_1nх_n = 0;

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ + …+ а_2nх_n = 0; (9)

…………………………………

а_n1х₁ + а_n2х₂ + …+ а_nnх_n = 0.

Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что однородная система линейных уравнений (9) имеет нулевое решение:

х₁ = 0, х₂ = 0,…, х_п = 0.

Таким образом, однородная система линейных уравнений (9) всегда совместна. Поэтому важно выяснить, при каких условиях она является определенной. Покажем, что однородная система п линейных уравнений с п неизвестными имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель ее равен нулю. В самом деле, пусть D = 0. Так как однородная система уравнений (9) является частным случаем неоднородной системы, то к ней применимо правило Крамера. Но для однородной системы все Dx_i = 0, так как каждый из этих определителей содержит столбец из нулей (b_i = 0). Поэтому система, равносильная системе (7), будет иметь вид

D_x1= 0, D_x2=0;…,D_xn= 0

Из этой системы следует, что однородная система (9) имеет единственное нулевое решение, если Δ 0; если же D = 0, то из условий (7) следует, что она имеет бесчисленное множество решений.