Действия над матрицами. Основные операции, которые производятся над матрицами, – сложение, вычитание, умножение, а также умножение матрицы на число

Основные операции, которые производятся над матрицами, – сложение, вычитание, умножение, а также умножение матрицы на число. Указанные операции являются основными операциями алгебры матриц – теории, играющей весьма важную роль в различных разделах математики и естествознания.

Суммой двух матриц А и В одинаковых размеров называется матрица того же размера, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В.

Операция нахождения суммы матриц называется сложением матриц и распространяется на случай конечного числа матриц одинаковы размеров.

Операция нахождения разности двух матриц называется вычитанием матриц. Проверкой можно убедиться, что операция сложения матриц удовлетворяет следующим свойствам:

1) А + В = В + А; (коммутативность)

2) А + (В + С) = (А + В) + С; (ассоциативность)

3) А + О = А.

Здесь А, В, С – произвольные матрицы одинаковых размеров; О – нулевая матрица того же размера.

Произведением матрицы А = [а_ij] на число λ называется матрица, элементы которой получаются из соответствующих элементов матрицы А умножением их на число λ.

Операция нахождения произведения матрицы на число называется умножением матрицы на число. Матрица – А = –1А называется противоположной матрице А. Проверкой можно убедиться, что операция умножения матрицы на число удовлетворяет следующим свойствам:

1) 1А = А;

2) (λ + μ) А = λА + μΑ;

3) λ (А + В) = λΑ+ λВ;

4) λ(μА) = (λμ) А;

5) А + (-А) = О.

Здесь А, В - произвольные матрицы; μ, λ – произвольные числа; О – нулевая матрица.

Произведение АВ матрицы А на матрицу В определяется только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

В этом случае произведением матрицы А на матрицу В, которые заданы в определенном порядке (А – 1 ая, В – 2 ая), является матрица С, элемент которой с_ij определяется по следующему правилу:

c_ij = a_i1b_1j + a_i2b_2j + … + a_inb_nj = ∑ ⁿ _{α = 1} a_iαb_αj,

где i = 1,2, …, m; j = 1, 2, …, k.

Для получения элемента с_ij матрицы произведения С = АВ нужно элементы i-й строки матрицы А умножить на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В и полученные произведения сложить.

Число строк матрицы С = АВ равно числу строк матрицы А, а число столбцов – числу столбцов матрицы В.

Операция нахождения произведения двух матриц называется умножением матриц.

Сравнив правые части выражений (2) и (3), убедимся, что АВ ≠ ВА.

Матрицы А и В, для которых АВ = ВА, называются перестановочными. Проверкой можно показать, что умножение матриц удовлетворяет следующим свойствам:

1) А(ВС) = (АВ) С; (ассоциативность)

2) λ(АВ) = (λА) В = А(λВ);

3) А (В + С) = АВ + АС. (дистрибутивность)

Здесь А, В, С – матрицы соответствующих определению умножения матриц размеров; λ – произвольное число.

Операция умножения двух прямоугольных матриц распространяется на случай, когда число столбцов в 1-ом множителе равно числу строк во 2-ом, в остальных случаях произведение не определяется. А также, если матрицы А и В - квадратные одного и того же порядка, то умножение матриц всегда выполнимо при любом порядке следования сомножителей.