Метод сеток

Пусть в объеме , ограниченном замкнутой поверхностью , требуется найти решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона (рис. 4.46):

в , (4.67)

на . (4.68)

Выберем декартову систему координат и разобьем объем плоскостями, параллельными координатным плоскостям. на равновеликие кубики с длиной ребра . Тогда определенное число вершин кубиков будут внутри объема , а остальное число вершин кубиков попадут на поверхность (возможно приближенно).

Рис. 4.46. К постановке задачи Дирихле для уравнения Пуассона

Рассмотрим одну из внутренних вершин (обозначим ее буквой ) и еще 6 соседних ближайших вершин (рис. 4.47). Эти 6 вершин обозначим цифрами 1, 2,…,6.

Рис. 4.47. К выводу расчетной формулы по методу сеток

Эти все 6 вершин могут быть внутренними, или некоторые из этих 6 вершин могут попасть на поверхность .

Краевую задачу (4.67), (4.68) перепишем в декартовой системе координат

в , (4.69)

на . (4.70)

Найдем приближенное значение второй производной . Для этого введем вспомогательные точки и , расположенные посредине соответствующих отрезков (рис. 4.47). Имеем:

, .

Тогда

.
Или:

.

Аналогично:

,

.

Поэтому:

.

Отсюда

. (4.71)

Метод сеток основан на использовании этого равенства. Равенства (4.71) записываются для всех внутренних вершин. Тем самым получается уравнений. В формулах (4.71) в тех вершинах, которые попадут на поверхность , потенциал задан. Поэтому в этих уравнениях будет неизвестных. Таким образом, получается система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), у которой число уравнений равно числу неизвестных.

Решая эту СЛАУ одним из известных методов, находим потенциалы во внутренних вершинах. Эта СЛАУ эффективно решается методом последовательных исправлений.

Сущность этого метода. Вначале задают произвольно или из каких-либо приближенных соображений потенциалы во внутренних вершинах. Затем, используя равенства (4.71), исправляют эти значения потенциалов во всех внутренних вершинах. Получим новые значения потенциалов. Далее, используя (4.71), исправляем второй раз потенциалы во всех внутренних вершинах. Таких исправлений достаточно произвести 3÷5, чтобы получить достаточно точный результат.

Таким методом, в частности, может быть решена задача Дирихле для уравнения Лапласа. Тогда вместо (4.71) будем иметь уравнение

. (4.72)

Равенство (4.72) является приближенным выражением теоремы о среднем для гармонических функций.

При записи равенств (4.72) для всех внутренних вершин СЛАУ получится неоднородной, так как некоторые k -ые точки попадают на поверхность , и потенциал в них известен.

Вопросы и задачи к лекции 27

286-1. Сформулируйте сущность метода зеркальных отображений. На какой теореме он базируется?

287-2. Точечный заряд находится над проводящим полупространством на расстоянии от него (рис. 4.48).

Найдите зависимость поверхностной плотности свободного заряда на поверхности проводящего полупространства от расстояния до точки , являющейся проекцией точки расположения заряда на плоскость . Диэлектрическая проницаемость диэлектрика окружающего заряд равна . Найдите также зависимость плотности связанного заряда диэлектрика на от , т.е. .

Рис. 4.48. Точечный заряд в однородном диэлектрике над проводящим полупространством

288-3. Точечный заряд находится в воздухе под проводящим полупространством (рис. 4.49). Тело несущее этот заряд обладает массой . Кроме силы притяжения к проводящему полупространству, на заряд действует сила притяжения Земли. При каком наступит равновесие? Это равновесие будет устойчивым или неустойчивым? Зависит ли ответ от знака заряда?

Рис. 4.49. Точечный заряд под проводящим полупространством

289-4. Два точечных заряда и находятся над проводящим полупространством на расстоянии от него (рис. 4.50). Расстояние между зарядами . Найдите . Диэлектрическая проницаемость диэлектрика, окружающего заряды, .

Рис. 4.50. Два точечных заряда над проводящим полупространством

290-5. Найдите и ( – поверхностная плотность свободного заряда на поверхности проводящего шара , – поверхностная плотность связанного заряда на ) (рис. 4.51). Заданы , , , (диэлектрическая проницаемость окружающего проводящий шар и точечный заряд диэлектрика). Суммарный заряд шара .

Рис. 4.51. Точечный заряд в диэлектрике вблизи проводящего шара

291-6. Параллельно бесконечно длинному проводящему цилиндру с зарядом на единицу длины расположена прямолинейная бесконечно длинная нить с зарядом на единицу длины (рис. 4.52). Диэлектрическая проницаемость окружающей среды . Радиус цилиндра , расстояние между нитью и осью цилиндра . Найдите поле вне цилиндра методом зеркальных отображений.

Рис. 4.52. Заряженная нить вблизи проводящего цилиндра

292-7. Выведите СЛАУ для решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона и для уравнения Лапласа.

293-8. Выведите СЛАУ для решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона в случае плоскопараллельного электростатического поля , которое не зависит от координаты и в любой точке перпендикулярно оси .