Постановка краевых задач электростатики

В конкретных задачах информация о распределении источников поля (зарядов) редко бывает полной. Заряды, создающие поле, обычно распределены по поверхностям или объемам материальных тел, причем это распределение само зависит от поля и поэтому неизвестно.

Однако знать распределение зарядов не обязательно. Возможно задание других условий, достаточных для определения поля. Эти условия составляют краевую задачу.

Постановка краевой задачи складывается из трех этапов:

1. Рациональный выбор искомой функции, описывающей электростатическое поле.

2. Запись дифференциальных уравнений для всех областей, в которых поле неизвестно.

3. Запись граничных условий на границах раздела областей (сред) и на бесконечности.

Рассмотрим примеры постановок краевых задач электростатики.

Пример 1. Поле двух заданных точечных зарядов и возмущено проводящим телом, ограниченным замкнутой поверхностью (рис. 4.38). Геометрия системы задана. Известен также суммарный заряд проводящего тела . Требуется найти поле вне проводящего тела, т.е. в объеме . (В объеме поле равно нулю).

Рис. 4.38. Проводящее тело в поле двух точечных зарядов

Произведена физическая постановка задачи. Выполним математическую постановку задачи, т.е. поставим краевую задачу.

В качестве искомой функции возьмем потенциал, но не результирующий потенциал, а разность между результирующим потенциалом и потенциалом двух точечных зарядов :

.

Очевидно, потенциал легко вычисляется:

,
где и расстояния от точки наблюдения соответственно до заряда (точки ) и (точки ). Искомая функция в объеме , очевидно, удовлетворяет уравнению Лапласа

, (4.55)

так как это потенциал зарядов, распределенных по поверхности проводящего тела.

Граничные условия для на поверхности вытекают из граничных условий на этой поверхности для результирующего потенциала и выражения для потенциала .

,
где С ‑ пока неизвестная константа. Поэтому:

, (4.56)

где – точка на поверхности , и – расстояния от этой точки соответственно до точек и расположения зарядов и .

Второе граничное условие на выражает заряд проводящего тела через значения нормальной производной потенциала на поверхности . По теореме Гаусса:

.
Или

,
где – внешняя нормаль к поверхности . Или

.

Окончательно:

(4.57)

Так как область уходит в бесконечность, т.е. границей области кроме поверхности , является бесконечность, то необходимо, вообще говоря, записать условие на бесконечности. Им будет следующее условие:

, (4.58)

где – расстояние от точки О, взятой где-либо внутри системы, до точки М.

Условия (4.55) – (4.58) составляют краевую задачу, поставленную для рассматриваемой физической задачи.

Если условия (4.55) – (4.58) записаны правильно, т.е. в соответствии с законами электродинамики, то существование решения задачи (4.55) – (4.58) не вызывает сомнения.

Однако единственность решения краевой задачи в каждом конкретном случае требует доказательства. Это не всегда просто. Неединственность может возникнуть из-за того, что условия краевой задачи являются неполными.

Пример 2. Необходимо найти электростатическое поле между двумя замкнутыми проводящими оболочками и (рис. 4.39). Между этими оболочками поддерживается напряжение . Объем между этими оболочками обозначим через .

Рис. 4.39. Две замкнутые проводящие оболочки

Примем потенциал второй оболочки равным нулю (выбор точки нулевого значения потенциала):

. (4.59)

Тогда потенциал первой оболочки будет равен :

. (4.60)

Так как среда однородная в объеме , то:

в . (4.61)

Условия (4.59), (4.60), (4.61) составляют краевую задачу для потенциала . Это краевая задача Дирихле для уравнения Лапласа. Единственность её решения доказывается в курсе методов математической физики.