Граничные условия для векторов электромагнитного поля

На границах раздела сред векторы поля, как будет показано ниже, претерпевают разрыв, поэтому в точках границы раздела дифференциальные уравнения для электромагнитного поля теряют смысл. Поэтому в этих точках вместо дифференциальных уравнений необходимо записать другие связи между векторами поля. Эти связи называют граничными условиями. Граничные условия выводятся из уравнений Максвелла в интегральной форме.

Вначале рассмотрим границу раздела двух диэлектриков (рис.4.21). Пусть заряды, создающие поле, находятся в первом диэлектрике (с диэлектрической проницаемостью ) вдали от границы раздела со вторым диэлектриком (диэлектрическая проницаемость ).

Рис. 4.21. Граница раздела между двумя однородными диэлектриками

В диэлектрике не возникают объемно распределенные связанные заряды, если он однороден и в нем отсутствуют объемно распределенные свободные заряды. На самом деле, внутри диэлектрика с проницаемостью (или внутри первого диэлектрика вблизи границы):

.

Связанный заряд возникает на границе раздела сред.

На нормали к поверхности раздела двух диэлектриков возьмем точки и , близкие к (рис. 4.22). Точка находится в среде с проницаемостью , a точка - в среде с проницаемостью .

Рис. 4.22. К доказательству непрерывности нормальных компонент вектора на границе раздела двух диэлектриков

Образуем дискообразный объем толщины . Точки и лежат на основаниях диска, которые перпендикулярны нормали . - замкнутая поверхность, ограничивающая диск, и - основания диска. Применяя постулат Максвелла для замкнутой поверхности , получим

.

Или

.

Мы пренебрегаем интегралом по боковой поверхности, так как устремляем к нулю.

Последнее равенствоможно записать так:

.

Или

. (4.29)

так как .

На границе раздела двух диэлектриков непрерывны нормальные компоненты вектора электрического смещения .

Рис. 4.23. К доказательству непрерывности касательных компонент вектора на границе раздела двух сред

Пусть имеется граница раздела двух сред в области существования электромагнитного поля. Первая среда характеризуется параметрами , , , а вторая - , , (рис. 4.23). Выберем произвольное касательное направление . Образуем прямоугольник в плоскости векторов , , две стороны которого () перпендикулярны нормали . Две остальные стороны прямоугольника () мы будем устремлять к нулю. Точки и расположены соответственно на верхней и нижней сторонах прямоугольника.

Запишем закон электромагнитной индукции для контура прямоугольника :

,
где - площадь, ограниченная прямоугольником.

Так как интеграл в правой части последнего равенства стремится к нулю при стремлении к нулю, то

.

Или

.

Следовательно,

. (4.30)

Это граничное условие является универсальным, т.е. оно справедливо для границы раздела между любыми средами. Условие же (4.29) справедливо только для границы раздела между двумя диэлектриками.

Возвращаясь к рассмотрению границы раздела между двумя диэлектриками из (4.29) и материального уравнения можно записать

.

Или

.

Следовательно, нормальная компонента напряженности электрического поля при переходе через границу раздела двух диэлектриков претерпевает скачок. Так, если , то .

Рис. 4.24. К выяснению причины скачка нормальных компонент вектора на границе раздела двух диэлектриков

Выясним физическую причину этого скачка. Заряды диполей внутри диэлектрика с проницаемостью и внутри диэлектрика с проницаемостью компенсируют друг друга. На границе будет положительный заряд за счет поляризации второго диэлектрика и отрицательный заряд за счет поляризации первого диэлектрика. Если , то результирующий заряд на будет положительным (рис. 4.24), и он создаст составляющие напряженностей и , которые указаны на рис. 4.24. и ‑ напряженности в точках и , созданные всеми зарядами, за исключением зарядов окрестности точек и . Очевидно, .

Итак, скачок нормальной составляющей происходит за счет связанных зарядов на в окрестности точек и . Очевидно, для случая

.

Рассмотрим границу раздела проводника и диэлектрика в статическом случае (рис.4.25).

Рис. 4.25. Граница раздела проводника и диэлектрика в случае электростатического поля

Внутри проводника . Это следует из закона Ома:

и из того, что в статическом случае .

Тогда из постулата Максвелла, примененного для замкнутой поверхности, ограничивающей диск, находим, что при стремлении к границе изнутри диэлектрика

(4.31)

где - поверхностная плотность свободного заряда на поверхности проводника.

Из (4.30) получаем

(4.32)

где - предельное значение касательной компоненты напряженности электрического поля при стремлении к границе изнутри диэлектрика.

Из (4.32) следует, что силовые линии или подходят под прямым углом к поверхности проводника.

Рис. 4.26. Граница раздела проводника и диэлектрика в случае переменного электромагнитного поля высокой частоты

Такие же граничные условия (, ) на поверхности проводника наблюдаются и в случае электромагнитного поля высокой частоты (рис. 4.26), так как такое электромагнитное поле не проникает внутрь проводника (явление поверхностного эффекта, см. ниже), тогда из (4.30) в этом случае следует (4.32). Верно также (4.31).

Переходим к граничным условиям для векторов магнитного поля и .

Рис. 4.27. К доказательству непрерывности нормальных компонент вектора на границе раздела двух сред

Пусть имеется граница раздела двух сред с различными параметрами (рис. 4.27). Организуем замкнутую поверхность , которая ограничивает тонкий диск. Одно основание лежит в первой среде, а второе - во второй.

Применяя к этой замкнутой поверхности принцип непрерывности магнитного потока в интегральной форме

и устремляя к нулю, получаем

. (4.33)

Это универсальное граничное условие, как и (4.30).

Рис. 4.28. К доказательству непрерывности касательных компонент вектора на границе раздела двух сред, на которой не возникают поверхностные свободные токи

Если ни одна из граничащих сред не является проводящей или если граничащие среды расположены в стационарном магнитном поле, не изменяющемся во времени (рис. 4.28), то из закона полного тока для замкнутой линии , ограничивающей прямоугольник

,
получаем

(4.34)

Указанный прямоугольник лежит в плоскости нормали и касательного направления , причем более длинные стороны () перпендикулярны нормали , а меньшие стороны () устремлены к нулю. Из (4.34) и материального уравнения следует

(4.35)

т.е. касательная компонента индукции магнитного поля на границе раздела сред с разными магнитными проницаемостями претерпевает скачок. Например, если , то (рис. 4.29).

Рис. 4.29. К выяснению причины скачка касательных компонент вектора на границе раздела двух магнетиков

Выясним физическую причину этого скачка. Внутри первой и второй среды микротоки компенсируют друг друга. Благодаря намагничиванию первой среды на границе образуется микроток с поверхностной плотностью, направленной «от нас», а благодаря намагничиванию второй среды на границе образуется микроток с поверхностной плотностью, направленной «к нам». Так как , то плотность результирующего микротока на будет направлена «к нам».

Этот микроток уменьшит тангенциальную составляющую индукции и увеличит тангенциальную составляющую индукции , т.е.

,
где индукция, отмеченная двумя штрихами, создается результирующим микротоком на границе в окрестности точек и .

Формула (4.35) указывает на то, что, если и конечно, то , т.е. в этом случае силовые линии подходят к ферромагнетику с магнитной проницаемостью под прямым углом. Напряженность магнитного поля в этом случае

Эта ситуация будет наблюдаться тогда, когда при очень больших () геометрия магнитной системы такова, что в магнетике с магнитной проницаемостью нельзя образовать замкнутый контур, охватывающий ток. Тогда конечно и , а . Приведем примеры.

На рис. 4.30 внутри магнетика с нельзя образовать замкнутый контур, охватывающий ток.

На рис. 4.31 внутри магнетика с можно образовать замкнутый контур, охватывающий ток.

Рис. 4.30. Силовые линии подходят к магнетику с под прямым углом

Рис. 4.31. Силовые линии подходят к магнетику с не под прямым углом

Силовые линии поля касательны к проводнику, находящемуся в высокочастотном электромагнитном поле, так как , и в соответствии с универсальным граничным условием (4.33) (рис. 4.32).

Рис. 4.32. Магнитное поле обтекает проводник в случае высокочастотного электромагнитного поля

Рассмотрим, наконец, граничное условие для плотности тока (рис. 4.33).

Рис. 4.33. К выводу граничного условия для плотности тока

Применяя закон сохранения заряда в интегральной форме к замкнутой поверхности , ограничивающей диск, находим

Или , т.е.

(4.36)

Для постоянных во времени токов

(4.37)

Если для указанной замкнутой поверхности диска применить принцип непрерывности электрического тока

,
то получим граничное условие в таком виде:

(4.38)

Или

(4.39)

Вопросы и задачи к лекции 24

266-1. Запишите систему уравнений Максвелла в дифференциальной форме для электромагнитного поля в среде. Поясните смысл всех векторов поля, входящих в эти уравнения.

267-2. Запишите систему уравнений Максвелла в интегральной форме для электромагнитного поля в среде.

268-3. Выведите граничные условия для векторов электрического поля и на границе раздела двух сред. Какое условие является универсальным, а какое нет? Почему?

269-4. Чем обусловлен скачок нормальной компоненты на границе двух диэлектриков?

270-5. Выведите граничные условия для векторов магнитного поля и на границе раздела двух сред. Какое условие является универсальным, а какое нет? Почему?

271-6. Чем обусловлен скачок тангенциальных компонент на границе двух магнетиков?

272-7. Сформулируйте граничные условия на границе проводника в случае электростатического поля и в случае высокочастотного электромагнитного поля.

273-8. Зарисуйте примерную картину силовых линий вектора (рис. 4.34)

Рис. 4.34. Проводник с током и магнитопровод, имеющий зазор

274-9. Проводник находится в электростатическом поле. Среда, окружающая проводник — воздух. В некоторой точке на поверхности проводника поверхностная плотность свободного заряда . Найдите и в этой точке.

275-10. Сформулируйте граничные условия для плотности тока.