Закон электромагнитной индукции и условие соленоидальности магнитного поля в среде. Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля в среде

В предыдущих двух лекциях были получены некоторые уравнения Максвелла для электромагнитного поля в среде в дифференциальной и интегральной форме.

Закон электромагнитной индукции

, (4.26)

и условие соленоидальности магнитного поля

(4.27)

будут иметь такой же вид, как и соответствующие законы для электромагнитного поля зарядов и токов в пустоте. Только под и в (4.26) и (4.27) следует понимать усредненные значения по физически бесконечно малому объему.

Прежде чем выписывать систему уравнений для электромагнитного поля в среде, дополним полученные уравнения материальным уравнением для электрического поля в проводящей среде.

(4.28)

Это закон Ома в дифференциальной форме. Здесь и ‑ усредненные значения плотности свободного тока и напряженности электрического поля, ‑ удельная проводимость проводящей среды.

Итак, система уравнений Максвелла в дифференциальной форме для электромагнитного поля имеет вид:

Закон полного тока (4.19)	,
Закон электромагнитной индукции (4.26)	,
Условие соленоидальности магнитного поля (4.27)	,
Постулат Максвелла (4.4)	,
Материальное уравнение для магнитного поля (4.22)	,
Материальное уравнение для электрического поля в диэлектрике (4.7)	,
Материальное уравнение для электрического поля в проводнике (4.28)	.

Здесь характеристики электромагнитного поля , , , , являются усредненными по физически бесконечно малому объему, источники (плотность свободного заряда) и (плотность свободного тока) также усредненные величины. Второе и третье уравнения получены из аналогичных уравнений для микроскопических величин путем усреднения. Параметры среды , , могут быть скалярами, не зависящими от интенсивности поля, скалярами, зависящими от интенсивности поля, или тензорами.

Соответствующая система уравнений Максвелла в интегральной форме для электромагнитного поля в среде имеет вид:

Закон полного тока (4.20)	,
Закон электромагнитной индукции (4.26)	,
Условие соленоидальности магнитного поля (4.27)	,
Постулат Максвелла (4.5)	,
Материальное уравнение для магнитного поля (4.22)	,
Материальное уравнение для электрического поля в диэлектрике (4.7)	,
Материальное уравнение для электрического поля в проводнике (4.28)	.

Здесь в первом и во втором уравнениях ориентации замкнутого контура и натянутой на него поверхности связаны правилом правоходового винта. В четвертом уравнении объем ограничен замкнутой поверхностью , которая ориентирована изнутри наружу.

Как и в случае электромагнитного поля зарядов и токов в вакууме, с помощью уравнений Максвелла в интегральной форме можно рассчитать поля в случае простой геометрии системы. Например, поле внутри многослойного плоского конденсатора (рис. 4.19) для случая, когда (диаметр обкладок), при заданных зарядах на обкладках и или напряжении между обкладками . Конденсатор может быть также цилиндрическим или сферическим.

Рис. 4.19. Двухслойный плоский конденсатор с заданным зарядом или напряжением

В качестве аналогичного примера для расчета магнитного поля можно привести коаксиальный кабель (рис. 4.20):

Рис. 4.20. Сечение коаксиального кабеля