Векторы намагниченности и напряженности магнитного поля. Закон полного тока в среде

В любой среде существуют микротоки: движение электронов по орбитам, спиновое движение электронов. При внесении вещества в магнитное поле магнитные моменты микротоков приобретают определенную ориентацию (до внесения в магнитное поле они имели хаотическую ориентацию и магнитное поле не создавали), как правило, по магнитному полю. Говорят, что вещество намагничивается. Степень намагниченности вещества в данной точке характеризуют вектором намагниченности. Вектор намагниченности – это магнитный момент единицы объема вещества

, (4.10)

где – физически бесконечно малый объем в окрестности точки М. Суммируются магнитные моменты микротоков, попавших внутрь объема (рис. 4.10).

Рис. 4.10. Магнетик в магнитном поле

Следовательно, вещество, попав в магнитное поле, намагничивается и тем самым создает дополнительное магнитное поле. Это дополнительное магнитное поле создается микротоками, имеющими определенную ориентацию. Плотность микротоков мы будем обозначать через .

Кроме микротоков в веществе, находящемся в переменном во времени электрическом поле, возникают так называемые токи поляризации, обусловленные смещением зарядов диполей. Плотность этих токов обозначим через .

Поэтому, если в пустоте уравнение для магнитного поля (закон полного тока) имело вид:

,
то при наличии среды оно будет выглядеть так:

.

Берем среднее значение по физически бесконечно малому объему от левой и правой частей последнего уравнения. Учтем при этом, что и :

.

Обозначим , , . Тогда последнее уравнение примет вид:

. (4.11)

Выразим через вектор намагниченности , а ‑ через вектор поляризации .

Запишем закон полного тока в интегральной форме для замкнутого контура , проходящего внутри намагниченного вещества (рис. 4.11).

Рис. 4.11. «Нанизывание» микротоков на контур l

.

Интеграл , который мы обозначим через , будет отличен от нуля за счет «нанизывания» некоторых микротоков на часть контура , проходящую внутри намагниченного вещества.

Выделим элемент контура внутри вещества и изобразим его в увеличенном виде (рис. 4.12).

Рис. 4.12. К расчету тока, получающегося за счет «нанизывания» микротоков на отрезок ∆l контура l

На элемент «нанижутся» те микротоки, центры которых находятся в наклонном цилиндре, радиус основания которого равен среднему радиусу микротоков.

Для вектора намагниченности можно записать выражение

.
Здесь суммирование производится по объему, равному единице, N – число микротоков в единице объема, – среднее значение магнитного момента микротока, – единичная нормаль к плоскости микротока (направление ее связано со стрелкой правилом правоходового винта).

Тогда ток, «нанизанный» на элемент , будет равен

.
А для тока, «нанизанного» на контур , получаем выражение

. (4.12)

Здесь использована теорема Стокса.

С другой стороны, для можно записать выражение

, (4.13)

где – толщина тонкого слоя, образованного около поверхности (поверхность проходит посредине этого слоя).

Продолжая равенство (4.13), получим:

(4.14)

Здесь – единичный вектор направления , – физически бесконечно малый объем в виде диска толщины и основания Δ S (поэтому ).

Сопоставляя выражение для (4.12) и (4.14), находим:

. (4.15)

Выразим теперь через вектор поляризации . Рассмотрим площадку Δ S внутри диэлектрика, находящегося в переменном во времени электрическом поле (рис. 4.13).

Рис. 4.13. К выводу формулы для плотности тока поляризации

Как было показано в предыдущей лекции, в момент времени на площадке Δ S со стороны нормали за счет «перерезания» диполей будет сосредоточен заряд . В момент времени этот заряд будет равен .

Следовательно, в направлении нормали будет протекать ток

.
Его плотность, очевидно, равна:

. (4.16)

Подставляя (4.15) и (4.16) в (4.11), получим:

.
Или, разделив на и перенося в левую часть равенства:

. (4.17)

Учитывая, что (вектор электрического смещения), и вводя по определению вектор напряженности магнитного поля

, (4.18)

уравнение (4.17) можно записать в виде:

. (4.19)

Это уравнение – закон полного тока в среде в дифференциальной форме.

Используя теорему Стокса, легко получить закон полного тока в среде в интегральной форме:

. (4.20)

Здесь – поверхность, натянутая на замкнутый контур , векторы и связаны правилом правоходового винта.

Плотность тока называется плотностью тока смещения в среде . Эта плотность имеет две составляющие:

.

Составляющая обусловлена смещением связаных зарядов диэлектрика. Внутри диэлектрика эта составляющая по величине существенно больше составляющей , обусловленной переменным во времени электрическим полем. Поэтому суммарную плотность тока называют плотностью тока смещения. В пустоте плотность тока смещения не сопровождается смещением зарядов, однако терминология сохраняется.

Получим материальное уравнение для магнитного поля в среде. Естественно утверждать, что чем больше напряженность магнитного поля в среде, тем больше величина вектора намагниченности:

. (4.21)

Коэффициент называется магнитной восприимчивостью. Он может быть скаляром, не зависящим от интенсивности магнитного поля, скаляром, зависящим от интенсивности поля, неоднозначным скаляром, зависящим от интенсивности магнитного поля (явление гистерезиса) или тензорной величиной.

Подставляя (4.21) в (4.18), получим:

,
т.е.

. . (4.22)

Это выражение называется материальным уравнением магнитного поля в среде. Величина – магнитная проницаемость вещества. Как и , она может быть скаляром или тензором. Величина – относительная магнитная проницаемость вещества.

54. Физический смысл напряженности магнитного поля

Пусть в некоторой точке намагниченного вещества вектор намагниченности имеет определенную величину и направление (рис. 4.14).

Рис. 4.14. К пояснению физического смысла вектора

Выделим около точки нитеобразный (цилиндрический) физически бесконечно малый объем так, что образующая цилиндра параллельна вектору намагниченности и длина цилиндра существенно больше диаметра основания ().

В соответствии с принципом суперпозиции, представим индукцию магнитного поля в точке М в виде двух составляющих.

, (4.23)

где – индукция, обусловленная всеми свободными токами и всеми микротоками за исключением микротоков объема , а – индукция, обусловленная микротоками объема .

Выразим через . Для этого изобразим объем и некоторые микротоки в нем в увеличенном виде (рис. 4.15).

Рис. 4.15. Намагниченный элементарный объем ∆V в окрестности точки наблюдения М

Очевидно, внутри объема Δ V микротоки направлены навстречу и поэтому компенсируют друг друга. Поэтому для расчета магнитного поля микротоков объема Δ V можно применить модель, изображенную на рис. 4.16 (нескомпенсированными остаются только микротоки на боковой поверхности цилиндра). Обозначим ток на единицу длины вдоль l через j.

Рис. 4.16. Токовая модель намагниченного элементарного объема Δ V

Индукция внутри соленоида, как легко найти с помощью закона полного тока в интегральной форме, равна

. (4.24)

Выразим j через модуль вектора намагниченности . Для этого посчитаем магнитный момент токов в объема двумя способами.

В соответствии с определением вектора намагниченности:

.

В соответсвии со второй моделью:

.

Сопоставляя эти два выражения для , находим:

.

Подставим это выражение для j в (4.24)

. (4.25)

Учитывая, что и имеют одно и то же направление, равенство (4.25) можно записать в вектороном виде

.

Подставим это выражение для в (4.23) и опустим обозначение точки :

.

Разделим последнее равенство на и выразим из него :

.

Но в правой части последнего равенства стоит напряженность магнитного поля . Следовательно

.

Вектор напряженности магнитного поля в среде равен индукции магнитного поля в нитеобразной (цилиндрической) полости (образующая цилиндра параллельна вектору намагниченности ), деленной на константу . В этом заключается физический смысл вектора . Отсюда вытекает также принципиальная возможность измерения вектора .

Вопросы и задачи к лекции 23

256-1. Дайте определение вектора намагниченности.

257-2. Какие дополнительные токи возникают в среде при наличии в ней электромагнитного поля?

258-3. Выведите закон полного тока в среде в дифференциальной и интегральной форме.

259-4. Дайте определение напряженности магнитного поля в среде.

260-5. Какой физический смысл вектора напряженности магнитного поля в среде? Сделайте соответствующий вывод.

261-6.Запишите материальное уравнение для магнитного поля в среде.

262-7. В магнитном поле прямолинейного бесконечно длинного проводника с током находится ферромагнитный цилиндр с магнитной проницаемостью (рис. 4.17). Ось цилиндра параллельна проводу. В каком случае будет больше индукция магнитного поля в точке ‑ при наличии цилиндра или при его отсутствии? Почему?

Рис. 4.17. Ферромагнитный цилиндр в поле прямолинейного проводника с током

263-8. Круговой цилиндр из ферромагнитного материала, длина которого сравнима с диаметром, намагничен однородно вдоль оси. Другие источники магнитного поля отсутствуют. Укажите направление вектора в центре цилиндра. Используя физический смысл вектора , найдите направление в этой же точке.

264-9. Бесконечно длинный прямолинейный проводник с током расположен соосно в ферромагнитной трубе с магнитной проницаемостью (рис.4.18). Найдите и для следующих областей:

1) ,

2) ,

3) ,

4) .

Зарисуйте графики и . Найдите поверхностную плотность микротоков на боковой поверхности радиуса и боковой поверхности радиуса .

Рис. 4.18. Прямолинейный проводник с током в ферромагнитной трубе

265-10. Покажите, что внутри диэлектрика, для которого и, следовательно, плотность тока поляризации , по величине существенно больше плотности тока , вызванной переменным во времени электрическим полем.