Уравнение с одной переменной.Равносильные уравнения

Определение. Пусть заданы два выражения f (х) и j(х), содержащие переменную х, которая принимает значения из некоторого множества Х. Назовем уравнением одноместный предикат

f (х) = j(х), х Î Х.

Определение. Решить уравнение – значит найти все значения переменной х, при постановке которых в уравнение получается истинное равенство, т.е. найти множество корней уравнения.

Прежде чем решать уравнение f (х) = j(х), нужно найти область допустимых значений переменной х (область определения уравнения), обозначаемое А. Для простоты дальнейших рассуждений, примем А = Х.

Определение. Два уравнения f (х) = j(х), и F (x) = G (x), имеющие одну и ту же область определения, называют равносильными, если их множества решений равны, т.е. если каждое решение первого уравнения является решением второго уравнения, и наоборот, всякое решение второго уравнения удовлетворяет первому.

С логической точки зрения уравнения f (х) = j(х) и F (x) = G (x) равносильны, если эквивалентны эти предикаты.

Рассмотрим два уравнения:

х ² – 1 = 0 (1)

(х ² – 1)(2 х – 1) = 0 (2)

Импликация х ² – 1 = 0 Þ (х ² – 1)(2 х – 1) = 0 истинна при любых значениях х.

Дело в том, что множество решений уравнения (1) есть подмножество множества решений (2), т. е. {1, –1} Ì {1, –1, }. В таком случае говорят, что уравнение (2) является следствием уравнения (1).

Итак, если множество решений уравнения f (х) = j(х) является подмножеством множества решений уравнения F (x) = G (x)^(**), то уравнение (**) называют следствием уравнения (*). Иными словами (**) есть следствие уравнения (*), если каждый корень уравнения (*) удовлетворяет уравнению (**). Теперь можно дать еще одно определение равносильности уравнений.

Определение. Два уравнения равносильны, если каждое из них является следствием другого.

Проще всего найти решение уравнения х = а, множество его решений состоит из единственного числа а. Поэтому при решении уравнений их стараются заменить равносильными им уравнениями, имеющими более простой вид, пока не придут к уравнению вида х = а или дизъюнкции х = а ₁Ú х = а ₂Ú х = а ₃ Ú …Ú х = а_n таких уравнений. Тогда множеством решений последнего уравнения является
Т = { }. Иногда приходится переходить от данного уравнения не к равносильному уравнению, а к его следствию. При этом множество решений расширяется и потому требуется в конце проверить все найденные корни, подставив их в исходное уравнение. Например, нужно решить уравнение , тогда:

= Þ х – 2 = х Û х – х – 2= 0Û х _{1, 2} = Þ
Þ х = –1 Ú х ₃ = 2. После проверки получим ответ: {2}.