Определение числовой функции

Определение. Если каждому числу х, взятому из множества X, по некоторому правилу или закону ставится в соответствие единственное число у, то говорят, что задана функция, которая обозначается y = f (x).

Числовое множество Х называют областью определения функции, а множество значений Y называют областью изменения функции.

Из приведенного определения следует, что функция считается заданной, если: 1) известна область определения функции и 2) указано правило или закон, по которому каждому значению х ставится в соответствие одно определенное значение у, короче – известен закон соответствия. Обычно областью определения числовой функции являются замкнутый промежуток, или сегмент [ а, в ]: а £ х £ в, открытый промежуток, или интервал (а, в): а < х < в, полуоткрытые промежутки, или полуинтервалы [ а, в), (а, в ]: а £ х < в, а < x £ в. К ним присоединяются: (а, +¥), (–¥, а), [ a, +¥), (–¥, a ], (–¥, +¥).

Область определения функции может состоять из одного или нескольких промежутков и из отдельных точек числовой прямой.

Чтобы показать, что у есть функция от переменной х, пользуются обозначениями: у = f(х), у = j(х), у = А (х), у = у (х) и т. д. Функцию можно обозначить любой буквой.

Запись y =f (х) [ а, в ] будем понимать так: функция f (х) определена (задана) в указанном промежутке.

Чтобы найти значение у по данному значению х, взятому из промежутка [ а, в ], надо произвести над ним некоторую определенную систему операций f. Отсюда следует, что если функция задана, т.е. известно множество значений х и закон соответствия f, то определено и множество значений у.

Рис. 1

Рис. 2

На рисунке 1 показана область определения функции у = f (x) – промежуток [ а. b ] и область изменения – промежуток [ с, d ], или, что одно и то же, аргумент x данной функции изменяется от а до в
(a £ x £ в), а функция y изменяется от с до d (c £ y £ d).

Может оказаться, что область изменения функции состоит из одного какого-нибудь числа с, или, иначе говоря, каждому значению х, взятому из области определения функции, соответствует единственное число с. В этом случае функция постоянна и записывается так:

f (x) = c (рис. 2), или f (x) = const.

Частное значение функции f (x) в точке x ₀ обозначается f (x ₀). Например, если f (x)= x ³ – 5 x + 3, то f (2) = 2³ – 5 × 2 + 3 = 1, f (0) = 3; если j (t) = , то j (0) = 1, j (3) = 0,1, j (a) = и т.п.

На рис. 1 изображено частное значение функции в точке x ₀ равное y ₀.

Среди основных элементарных функций есть функции вида
f (x) = р (x), где р (x) – многочлен, их называют целыми рациональными функциями. А так же функции вида , где р (x) и q (x) – многочлены, их называют дробно-рациональными функциями. Частное определено, если q (x) не обращается в нуль. Поэтому область определения дробно-рациональной функции – множество всех действительных чисел, из которого исключены корни многочлена q (x).

Способы задания функции

1. Аналитический способ задания функции.

Если функция y = f (х) задана одной или несколькими формулами на различных промежутках изменения аргумента х, то говорят, что функция задана а н а л и т и ч е с к и м способом.

При таком задании функции прямо указывается, какие действия и в каком порядке надо произвести над значением х и постоянными числами, чтобы получить соответствующее значение у.

П р и м е р ы.

1) у = х³ + 5.

Чтобы получить значение у, надо возвести значение х в третью степень и к полученному результату прибавить 5.

2) .

В этом примере, чтобы найти значение у, надо произвести над значением х и постоянными числами четыре действия (умножение, возведение в степень, сложение и деление).

3) y = lg(x ² + 5 x – 2).

Значение данной функции находится при помощи пяти действий.

Если функция задана аналитически у = f (х) и область определения этой функции не указана, то под последней понимают множество действительных значений х, при которых функция f (х) принимает также действительные значения.

П р и м е р ы известных нам функций.

Площадь круга вычисляется по формуле S = p r ², где r – радиус круга, отсюда площадь круга есть функция от радиуса r,

т.е. S = f (r) = p r ² (r > 0).

Площадь квадрата вычисляется по формуле S = х², где х — длина стороны квадрата. Следовательно, площадь квадрата есть функция от длины его стороны. Эту зависимость можно записать так:

S (x) = x ² (x > 0).

Объём шара V = p r³ (r > 0), где r – радиус шара. Следовательно, объем шара есть функция от его радиуса, т.е. .

Однако не каждую функцию можно задать аналитически, например, температура воздуха в течение суток изменяется, т.е. температура воздуха Т является функцией от времени t: T = j (t)

Здесь аргументом функции будет время. Значения температуры воздуха получаем путем измерения (наблюдения) лишь для некоторых значений аргумента t, и закон изменения температуры в зависимости от времени еще не может быть выражен какой-либо формулой.

2. Табличный способ.

Функцию можно задать с помощью таблицы, содержащей значения аргумента и соответствующие значения функции.

Читатель неоднократно пользовался таблицами тригонометрических функций, логарифмическими и другими таблицами. (Вспомните «Четырехзначные математические таблицы» В.М. Брадиса). Приведенную выше функцию T = j (t) можно задать с помощью таблицы. Будем, например, измерять температуру воздуха в течение суток, начиная с нуля часов с интервалами в один час, получим таблицу, состоящую из 25 значений аргумента t (t = 0, 1, 2, 3,..., 24) и 25 значений функции Т. Первое множество будет областью определения функции, а второе – областью изменения функции. В практической деятельности очень часто приходится пользоваться табличным способом задания функции. Этот способ дает возможность для указанных в таблице значений аргумента получать без вычислений соответствующие значения функции. С другой стороны, он имеет существенный недостаток. В таблице мы не можем найти те значения функции, которые соответствуют значениям аргумента, не содержащимся в таблице, в то время как при аналитическом способе, вообще говоря, мы можем вычислить значение функции при любом значении аргумента, принадлежащем области определения функции.

3. Графический способ.

Графиком функции у = f (х) называют множество точек плоскости, прямоугольные координаты х и у которых удовлетворяют уравнению у = f (x).

Функцию у = f (х) называют заданной графически, если построен ее график. Такой способ задания функции дает возможность определять значения функции только приближенно.

Функциональная зависимость предполагает, что каждому значению х из области определения функции соответствует одно, и только одно, значение у. Это означает, что любой перпендикуляр, восстановленный к оси абсцисс в какой-либо точке из области определения функции, пересекает ее график лишь в одной точке.

Построение графика и нахождение на нем значений функции сопряжено с погрешностями.

Зависимость между временем и температурой воздуха, упомянутую выше, можно задать и с помощью графика, воспользовавшись, например, самопишущим прибором термографом.

Заметим, что в математике почти всегда прибегают к графической иллюстрации функции, благодаря этому достигается наглядность свойств данной функции, что значительно облегчает ее исследование. Это является достоинством графического способа задания функции.

Выше мы уже воспользовались этим способом, изобразив графики некоторых функций. В дальнейшем при изучении функций наряду с аналитическим способом задания функций будем пользоваться и геометрической интерпретацией.

Мы рассмотрели три способа задания функции: аналитический, табличный и графический. Из этих трёх способов основным является аналитический. Приведем пример, когда функция определяется способом, не упомянутым выше.

4. Словесное описание функции.

Пусть у означает наибольшее целое число, не превосходящее числа x, или как иногда говорят короче, «целую часть числа x». Из свойств этой функции следует, что область её определения есть всё множество действительных чисел и известен закон соответствия. Таким образом, функция y задана на множестве действительных чисел при помощи словесного описания закона соответствия.

-1

-2

Рис. 3

Целую часть числа х принято обозначать

символом [ х ] или Е [ х ]. Следовательно, можно написать:

у = [ х ] или у = Е (х).

Область изменения функции состоит из множества целых чисел. Найдем несколько частных значений этой функции:

[0, 5] = 0; [2, 3] = 2; [ ] = 1;

[–1, 3] = –2; [ p ] = 3; [– p ] = –4.

Заметим, что каждый способ задания функции имеет свои достоинства.

Формулы часто используют потому, что с ними удобно производить вычисления, их можно преобразовывать и анализировать, выясняя свойства функции. Табличный способ предпочитают тогда, когда трудно вычислить значения функции или когда она может принимать, лишь несколько отдельных значений. Словесный – наиболее прост и доходчив, если, конечно, функцию удается описать простыми фразами.

Графический способ представления функции – самый наглядный. График функции – это линия (или множество отдельных точек), дающая цельное представление о характере изменения функции по мере изменения ее аргумента. Благодаря своей наглядности графический способ задания функций часто сопутствует другим способам. Выведя формулу какой-либо функциональной зависимости, исследователь вслед за этим строит еще ее график. Многие компьютеры имеют графический редактор. Графики большинства функций имеют названия. График линейной функции – прямая, график квадратичной функции – парабола, график обратно-пропорциональной зависимости – гипербола и так дале

Вопрос 2. Графики функций f(x) и – f(x) (Симметрия относительно оси абсцисс)

Если точки М (х; у) и М ₁(х ₁, у ₁) расположены симметрично относительно оси Ох, то х = x ₁, у + у ₁ = 0 (у = – у ₁). И наоборот, если выполняются условия: х = х ₁, у + у ₁ =0, то точки М (х; у) и М ₁(х ₁; у ₁) симметричны относительно оси Ох (рис. 6). Нетрудно заметить, что любой точке М (х; у) графика функции f (x) соответствует точка М ₁(х ₁; у ₁) графика функции – f (x), симметричная точке М (х; у) относительно оси Ох (рис. 7). Следовательно, графики функций f (х) и – f (х) расположены симметрично относительно оси Ох.

у М (х; у)   у х у 1   М 1(х 1; у 1)   Рис. 6

у у = f (x) М (х; у)   х   М 1(х 1; у 1)   у = – f (x) Рис. 7

Графики функций f (х) и f (- х) (Симметрия относительно оси ординат)

Если точки М (х; у) и М ₁(х ₁; у ₁) расположены симметрично относительно оси Оу, то х + х₁ = 0 (х = – х ₁), y = y ₁. И наоборот, если выполняются условия: х + х ₁ = 0 и y = y ₁, то точки
М (х; у) и М ₁(х ₁; у ₁) расположены симметрично относительно оси Оу (рис. 8). Эти соображения дают возможность установить вид графика функции f (– x), если известен график функции f (x).

у М 1(х 1; у 1) М (х; у)     у 1 у х 1 0 х х

у у = f (– x) у = f (x) М 1(х 1; у 1) М (х; у)     у 1 у х 1 0 х х

Возьмем любую точку М (х; у) графика функции f (х) и покажем, что найдется точка М ₁(х ₁; у ₁) на графике функции f (– х), симметричная точке М (х; у) относительно оси Оу (рис. 9). В самом деле, если х = – x ₁ или х + х ₁ = 0, то f(х) = f (– х), т.е. у = y ₁, а такие две точки М (х; у) и М ₁(х ₁; у ₁), как уже говорилось, симметричны относительно оси Оу. Следовательно, каждой точке М (х; у) графика функции f (х) соответствует точка М ₁(х ₁; у ₁) графика функции f (– х), симметричная относительно оси Оу, это и означает, что графики функций f (х) и f (– х) расположены симметрично относительно оси Оу.

П р и м е р. Построить графики следующих функций:

1) у = 2 ^х; 2) у = 2^{– х} ; 3) у = –2 ^х.

Построение. Для построения графика первой функции составим таблицу:

х					–1	–2	–3
y

Построим точки, соответствующие парам чисел таблицы и соединим их плавной линией.

Далее, если первую функцию обозначить через f (х) = 2 ^x, то вторая функция будет f (– х) = 2^{– x}, а третья будет иметь вид – f (х) = –2 ^x. Имея график первой функции и руководствуясь правилами симметрии относительно осей координат, построим графики следующих двух функций (рис. 10).

у

1 2

у = 2^{- х} 4 у = 2 ^х

3 Вопрос Графики функций f(x) и f(x ± a) (Параллельный перенос вдоль оси абсцисс)

Пусть даны две точки M (x; y) и M ₁(x ₁; y ₁), координаты которых удовлетворяют условиям: x ₁= x + a, y ₁ = y (a > 0) (1)

или x ₁= x – a, y ₁ = y (a > 0). (2)

Тогда можно утверждать, что точка M ₁ получена в первом случае путём переноса точки M вдоль оси Ox вправо на a единиц (рис. 11а) и во втором случае – влево на столько же единиц (рис.11б).

у М (х; у) М 1(х 1; у 1)   х 0 х х + а х + а

у М 1(х 1; у 1) М (х; у)   х х – а 0 х х х – а 0 х

И наоборот, если точку М (х; у) перенести параллельно оси Ох на а единиц (a > 0) вправо или влево, то координаты точки M ₁(x ₁; y ₁) будут

удовлетворять соответственно условиям (1) или (2).

Эти соображения дают возможность по данному графику функции f (x) установить вид графиков функций f(х + а) и f (х – а). В самом деле, возьмем любую точку М (х; у) на графике функции f (x) и точку М ₁(х ₁; у ₁) на графике функции f (х + а) так, чтобы у = у ₁ т.е. f (х) = f (x ₁ +
+ а), тогда х = х ₁ + а или x ₁ = х – а. Отсюда следует, что любая точка М ₁(х ₁; у ₁) графика

функции f (x + а), получается путем сдвига точки М (х; у) графика функции f(х) вдоль оси Ох на a единиц влево. Следовательно, график функции у = f(х + а) можно получить из графика функции у = f (x) сдвигом его влево вдоль оси Ох на а единиц.

Аналогично график функции у = f (x – а) можно получить из графика функции у = f (х) сдвигом его вправо вдоль оси Ох на а единиц (рис. 12).

Трудность построения графиков функций f (х + а)или f (х – а)
(а > 0) заключается не в том, что необходимо сначала построить график функции f (х), которую назовем «исходной», а в том, что построенный график нужно сдвинуть по оси Ох вправо на а единиц, чтобы получить график функции у = f (х – а), и влево на столько же единиц, чтобы получить график функции у = f (х +a).

Эту трудность можно исключить. Будем строить графики упомянутых функций иначе.

Пусть нужно построить график функции f (х – а) (а > 0). Проводим жирными линиями оси системы координат хОу и справа от начала координат на расстоянии а единиц проводим пунктиром прямую, параллельную оси Оу, получим новую систему координат хО'у', оси которой О'х и О'у' параллельны и одинаково направлены с осями Ох и Оу соответственно. В этой новой системе координат строим график исходной функции у = f (х), который и будет искомым графиком данной функции в старой системе координат хОу. Аналогичным способом строим и график функции у = f (x + а) (а > 0).

При построении графика функции необходимо учитывать точки пересечения графика с осями координат.

Построим, например, график функции у = (х + 2)² (рис. 13).

П о с т р о е н и е. Сначала начертим прямоугольную систему координат хОу и на расстоянии 2 единиц слева от начала координат проводим пунктиром прямую, параллельную оси Оу. В новой системе координат хО'у' строим график исходной функции у = х ². Построенный график будет искомым графиком функции у = (х + 2)² в системе координат хOу. Найдем точки пересечения графика данной функции с осями координат Оу и Ох. Пусть х = 0, тогда у = 2² = 4; если y = 0, то (х + 2)² = 0, отсюда x = –2.

у' у у = (х + 2)2 А (0, 4)     х 0 ' 0 1

у у = f (x + a) y = f (x) y = f (x-a) а а х

Рис. 12 Рис. 13

Следовательно, A (0; 4) – точка пересечения графика с осью Оу и О' (–2; 0) – точка касания с осью Ox.

4 Вопрос.Графики функций f (x) и f (x)+ b (Параллельный перенос вдоль оси ординат)

Пусть даны две точки М (х; у) и M ₁(x ₁; y ₁), координаты которых удовлетворяют условиям:

x ₁ = х, у ₁ = у + b. (1)

Тогда можно утверждать, что точка М ₁ получена путем переноса точки М вдоль оси Оу вверх на b единиц, если b > 0 (рис.14а), и вниз на столько же единиц, если b < 0 (рис. 14б).

у М 1(х 1; у 1) y + b (b >0) M (x; y) y 0 x x

у M (x; y) y М 1(х 1, у 1) y + b (b <0) 0 x x

И, наоборот, если точку М (х; у) перенести параллельно оси Оу на b единиц вверх (b > 0) или на столько же единиц вниз (b < 0), то координаты точки M ₁(x ₁; y ₁) будут удовлетворять условиям (1).

Покажем, что любая точка M ₁(x ₁; y ₁) графика функции у= f(х)+b получается сдвигом точки М (х; у) графика функции y = f(х) вдоль оси Оу на b единиц вверх, если b > 0, и на столько же единиц вниз, если
b < 0.

Пусть x ₁ = х, тогда у ₁ = f (х ₁) + b = f (х) + b = у + b, т.е. выполняется условие (1).

Следовательно, график функции у = f (х) + b получается из графика функции у = f (х) сдвигом вдоль оси Оу на b единиц вверх, если
b > 0, и на столько же единиц вниз, если b < 0 (рис.15).

Сформулируем правило построения графика иначе.

Пусть нужно построить, график данной функции у = f (х) + b. Проводим оси системы координат хОу и выше (ниже) оси Ох, на расстоянии от нее на b единиц, если b > 0 (b < 0), проводим пунктиром прямую, параллельную оси Ох. Получим новую систему координат х'О'у. В этой системе координат строим график исходной функции
y = f (x), который и будет искомым графиком данной функции в системе координат хОу. Аналогично строим график данной функции и при
b < 0.

Например. Рассмотрим п о с т р о е н и е графика функции
у = х ² + 1.

Сначала строим прямоугольную систему координат хОу, затем на расстоянии 1 единицы вверх от начала координат проводим пунктиром прямую, параллельную оси Ох. В новой системе координат х'О'у строим график исходной функции у = х ². Построенный график будет искомым графиком данной функции в системе координат хОу (рис. 16).

у у = f (x)+ b М 1(х 1; у 1) b >0 b у = f (x) M (x; y) y 0 x x

у у = x 2 + 1 1 x' 0 ' x

Вопрос

Графики функций f(х) и f(kх) (Растяжение (сжатие) графика по оси абсцисс)

Пусть даны две точки М (х; у) и M ₁(x ₁; y ₁), координаты которых удовлетворяют условиям:

x ₁ = , y ₁ = y. (1)

В этом случае можно считать, что точка M ₁ получена путем растяжения в раз (0 < k < 1) или сжатия в k раз (k > 1) абсциссы точки М. И наоборот, если плоскость подвергнута равномерному растяжению или сжатию по оси Ох с коэффициентами соответственно
(0 < k < 1) и k (k > 1), то точка М (х; у) переходит в точку M ₁(x ₁; y ₁) и координаты этих точек удовлетворяют условиям (1).

Любая точка M ₁(x ₁; y ₁) графика функции у = f(kх) получается растяжением в раз (0< k <1) или сжатием в k раз (k > 1) абсциссы точки М (х;у) графика функции у = f (х). Это следует из того, что при у ₁ = у или f (kх ₁) = f (х), kх ₁ = x, х ₁ = , т.е. из выполнения условий (1). Следовательно, график функции у = f(kх) (рис. 17) можно получить из графика функции у = f (х) растяжением его в раз по оси Оx, если (0< k <1), и сжатием в k раз, если k > 1 (растяжение графика происходит от оси Oy, а сжатие – к оси Oy).

у y = f (x) y = f (kx) 0 x

y M y M 1 y = f (x) y 1 y = mf (x) 0 х x 0 < m < 1

Рис. 17

При k < 0 к преобразованию растяжения (сжатия) присоединяется симметрия относительно Oy.

Графики функций f(х) и mf(х) (Растяжение (сжатие) графика по оси ординат)

Пусть даны две точки М (х; у) и M ₁(x ₁; y ₁), координаты которых удовлетворяют условиям:

x ₁ = х, у ₁ = ту. (1)

Можно утверждать, что точка М ₁ получена путем растяжения в т раз (т > 1)или сжатия в раз (0 < т < 1) ординаты точки М. И наоборот, если плоскость подвергнута равномерному растяжению (сжатию) с коэффициентом растяжения m > 1 (сжатия 0 < m < 1) по оси Оу, то точка М (х: у) переходит в точку M ₁(x ₁; y ₁) и координаты этих точек удовлетворяют условиям (1).

Любая точка M ₁(x ₁; y ₁) графика функции у = mf (x) получается растяжением в т раз (m > 1) или сжатием в раз (0 < m < 1) ординаты точки М (х; у) графика функции у = f (x). В самом деле, если x ₁= x, то y ₁ = mf (x ₁) = mf (x) = mу, т.е. выполняются условия (1).

Следовательно, график функции у = тf (x) (рис. 18) можно получить из графика функции y = f(x) растяжением в m раз по оси Oy, если m > 1 и сжатием в раз, если 0 < m < 1 (растяжение графика происходит от оси Ox, а сжатие – к оси Ox).

При m < 0 к преобразованию растяжения (сжатия) присоединяется симметрия относительно оси Ox.

Например. Построить график функции y = 1,5 sin x.

П о с т р о е н и е. Сначала строим график исходной функции у = sin х, а затем растяжением этого графика в 1,5 раза по оси Оу получим искомый график (рис. 19).

y у =1,5sin х у =sin х 0 х

Вопрос

Графики функций f (х) и f (х + а) + b

График функции у = f (х + а) + b можно построить двумя способами.

I способ. Сначала построим систему координат хОу (рис. 20). Далее пунктиром построим график исходной функции у = f (х) и сдвинем его по оси Оx влево на |а| единиц при а > 0 или вправо на столько же единиц при а < 0, а затем по оси Оу вверх на | b | единиц при b > 0 или вниз на столько же единиц при b < 0 (см. § 6, 7), т.е. последовательно выполняем два преобразования.

Выполнить такие смещения графика исходной функции, как уже говорилось, слишком громоздко, поэтому будем строить график данной функции другим способом.

y y = f (x + a)+ b b y = f (x+a) b y = f (x)   -a 0 x (a >0, b >0)

II способ. Построим систему координат хОу (рис. 21), затем произведем параллельный перенос осей координат, т.е. смещение графика заменим смещением осей координат, что сделать значительно проще. В новой системе координат х'O'у' построим график исходной функции у = f (х), который и будет искомым графиком данной функции в системе координат хОу. Нетрудно заметить, что координаты начала О ¢ новой системы координат относительно первоначальной системы координат будут (- а, b), т.е. если началом системы координат xOу была точка O (0; 0), то в новой системе началом является точка О' (– а; b). Разумеется, что координаты той же точки О ¢ в системе координат х'O'у' будут (0, 0).

y' y x' b     -a 0 x

y = f (x + a)+ b

Рис. 20 Рис. 21

Вопрос

Графики функций f(x) и mf(x + a) + b.

Если известен график функции у = f (x), график функции

у = тf (х + а) + b можно построить следующим образом: сначала строим систему координат хОу, затем через точку О' (– а, b), являющуюся началом новой системы координат, проводим оси координат О'х' и О'y' одинаково направленные и параллельные осям Ох и Оу соответственно. В этой новой системе координат строим график функции у = тf(х) (см. § 9), который и будет искомым графиком данной функции в системе координат хОу.

График функции у = тf (x) (рис. 18) можно получить из графика функции y = f(x) растяжением в m раз по оси Oy, если m > 1 и сжатием в раз, если 0 < m < 1 (растяжение графика происходит от оси Ox, а сжатие – к оси Ox).

При m < 0 к преобразованию растяжения (сжатия) присоединяется симметрия относительно оси Ox.

Вопрос

Обратная функция

Пусть функция y = f (x) (1)

задана в сегменте [ а, b ], а множество ее значений (область изменения функции) есть сегмент [ с; d ].

Если каждому значению у из сегмента [ с; d ] соответствует одно значение х из сегмента [ а, b ], для которого f (х) = у, то в сегменте [ с; d ] можно определить функцию

x = j (y) (2)

у   d     y 2       c   0 a x 1 x x 2 b x

y 1

y

x = j (y)

так, что каждому значению у, взятому в сегменте [ с, d ], будет соответствовать одно значение х из сегмента [ а, b ], для которого f (х) = у. Функция (2) называется обратной по отношению к данной функции (1), удовлетворяющей для всех значений у, взятых в сегменте [ с, d ], условию у = f (j (y)). Заметим, что если функция (2) обратная по отношению к функции (1), то, очевидно, что функция (1) обратная по отношению к функции (2).

Функции (1) и (2) называют взаимно обратными. Заметим также, что в определении вместо сегментов [ а, b ] и [ с, d ] можно взять любые промежутки, например, интервалы (а, b) и (с, d).

Имеет место теорема, выражающая достаточное условие существования обратной функции.

Рис. 23

Теорема. Если функция у = f (x) строго монотонна, то разные х отображаются в разные у.

Докажите эту теорему самостоятельно.

Заметим, что график прямой функции у = f (х), заданной в сегменте [ а, b ] (с £ у £ d), и обратной функции х = j (у), заданной в сегменте [ с, d ] (a £ x £ b), будет один и тот же (рис. 23). Следовательно, для построения графика функции у = f (х), заданной в промежутке
[ а, b ] (с £ у £ d), можно построить график обратной функции х = (у), заданной в промежутке [ с, d ] (а £ х £ b). Если же в обратной функции х = j (у) независимую переменную обозначить через х, а функцию через у, то областью определения обратной функции
х = j (у) будет промежуток [с, d ] на оси Ох (вертикальной), а областью изменения функции промежуток [ а, b ] на оси Оу (горизонтальной), т.е. произойдет перемена названий осей координат. Чтобы придать обычное общепринятое расположение осям координат, надо повернуть плоскость чертежа хОу на 180° вокруг биссектрисы первого и третьего координатных углов, при этом и график обратной функции будет получен как зеркальное отражение графика прямой функции y = f (x) относительно этой биссектрисы (рис. 24).

На практике переход от исходной функции к обратной очень просто выполняется графически.

График обратной функции симметричен по отношению к графику исходной функции, причем осью симметрии служит прямая у = х.

у d y = f (x) b y =j(x) c a 0 a c b d x

Рис. 24

Это хорошо видно на рис. 25 (а, б).

у   у = х 3     1   -1 0 1 2 3 х

у   у = х 3     1   0 1 х

у у = ах + b (b >0) М 2 y = ax М 1 b y 1 y 2     0 x 1 x 2 х М (х,у) а)

a

a

у M y b     0 А х б)

a

В

a

С

Рис. 25

На рисунке 25 а) исходная функция обратная ей функция .

На рисунке 25 б) исходная функция обратная ей функция .

П р и м е р ы. Найти функции, обратные к данным и указать их области определения.

1) y = 2 x – 3; 2) y =

Решение.

1) Функция у = 2х – 3 определена в интервале (–¥, +¥), множество ее значений также есть интервал (–¥, +¥), причем эта функция строго возрастающая (докажите!), следовательно, по достаточному условию существования обратной функции, определяется в этом интервале обратная функция.

Сначала выразим в заданной формуле х через у: х = .

Поменяем обозначения х и у местами в последней формуле, получим у = . Это и есть функция, обратная к функции y = 2x – 3.

2) Функция y = задана в интервалах (–¥, 0) и (0, +¥), убывает в этих интервалах (докажите!). Множество значений этой функции также интервалы (–¥, 0) и (0, +¥), следовательно, существует в этих интервалах обратная однозначная убывающая функция х = . Поменяв обозначения х и у местами, получаем y = . Нетрудно заметить, что данная функция y = совпадает со своей обратной.

Вопрос