Числовые характеристики системы двух случайных величин

Среди числовых характеристик двумерной случайной величины важнейшими являются условное математическое ожидание и ковариация.

Условным математическим ожиданием дискретной случайной величины Y при X = x называется сумма произведений возможных значений Y на их условные вероятности:

. (80)

Условное математическое ожидание дискретной случайной величины X при Y = y рассчитывается по следующей формуле:

. (81)

Ковариацией или корреляционным моментом случайных величин X и Y называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин от их математических ожиданий:

; . (82)

Коэффициентом корреляции r_xy случайных величин X и Y называется отношение ковариации к произведению средних квадратичных отклонений этих величин:

. (83)

Корреляционные моменты и дисперсии можно представить в виде корреляционной матрицы:

. (84)

Пример 3.3. Найти условное математическое ожидание составляющей Y при Y = x ₁ = 1, если дискретная двумерная случайная величина (Y, Х) задана следующей таблицей:

X Y	x 1 = 1	x 2 = 3	x 3 = 4	x 4 = 8
y 1 = 3	0,15	0,06	0,25	0,04
y 2 = 6	0,30	0,10	0,03	0,07

Решение. Найдем P (x ₁) = 0,15 + 0,30 = 0,45.

;

.

Условное математическое ожидание равно:

.

Пример 3.4. Закон распределения двумерной случайной величины (X, Y) задан в виде следующей таблицы:

X Y
	0,10	0,05	0,12
	0,20	0,14	0,08
	0,15	0,11	0,05

Найти следующее:

а) одномерные законы распределения компонент X и Y;

б) корреляционный момент;

в) корреляционную матрицу;

г) коэффициент корреляции.

Решение.

1. Составим одномерные законы распределения X и Y.

Находим вероятности возможных значений X:

;

;

.

Проверка: .

Аналогично находим вероятности возможных значений Y, сложив вероятности по строкам:

;

;

.

Проверка: .

X
P	0,45	0,30	0,25

Y
P	0,27	0,42	0,31

.

.

.

.

.

.

; .

2. Находим корреляционный момент по следующей формуле:

.

Составляем закон распределения двумерной случайной величины (Y, Х) в виде таблицы:

X – M (X) Y – M (Y)	– 1,35	0,65	1,65
– 1,35	0,10	0,05	0,12
– 0,35	0,20	0,14	0,08
1,65	0,15	0,11	0,05

K_XY = –1,35(–1,35 · 0,1 + 0,65 · 0,05 + 1,65 · 0,12) – 0,35(–1,35 · 0,2 +
+ 0,65 · 0,14 + 1,65 · 0,08) + 1,65 · (–1,35 · 0,15 + 0,65 · 0,11 + 1,65 · 0,05) =
= –1,35 · (–0,135 + 0,0325 + 0,138) – 0,35(–0,27 + 0,091 + 0,132) +
+ 1,65(–0,2025 + 0,0715 + 0,0825) = –0,128 + 0,0165 – 0,08 = 0,19.

3. Записывает корреляционную матрицу:

.

4. Находим коэффициент корреляции по формуле (83):

.

Так как , величины X и Y являются зависимыми.