Система двух случайных величин

Двумерной называют случайную величину (X; Y), возможные значения которой есть пары чисел (x; y).

Случайные величины X и Y, рассматриваемые совместно, образуют систему двух случайных величин. Каждую из величин X и Y называют составляющей (компонентой).

Общей характеристикой двумерной случайной величины является функция распределения вероятностей, которая представляет собой вероятность события (X < x, Y < y); F (x, y) = P (X < x, Y < y).

Различают дискретные (составляющие этих величин дискретны) и непрерывные (составляющие этих величин непрерывны) двумерные случайные величины.

Законом распределения дискретной двумерной случайной величины называютперечень возможных значений этой величины(т. е. пар чисел)(x_i; y_i)и их вероятностей p (x_i; y_j)(i = 1, 2, …, n; j = 1, 2, …, m).

Закон распределения двумерной случайной величины может быть задан в виде таблицы с двойным входом, содержащей возможные значения и их вероятности, а также аналитически, например, в виде функции распределения.

Зная закон распределения двумерной дискретной величины, можно найти законы распределения каждой из составляющих.

Например, события (X = x ₁, Y = y ₁), (X = x ₁, Y = y ₂), …, (X = x ₁, Y =
= y_m) несовместны, поэтому

.

Таким образом, вероятность того, что X примет значение x_i, равна сумме вероятностей столбца x_i. Аналогично, сложив вероятности строки y_j, получим вероятность P (Y = y_j).

Пример 3.1. Найти законы распределения составляющих двумерной случайной величины, заданной законом распределения в виде следующей таблицы:

X Y	x 1	x 2	x 3
y 1	0,10	0,30	0,20
y 2	0,06	0,18	0,16

Решение. Сложив вероятности по столбцам, получим вероятности возможных значений X: P (x ₁) = 0,16; P (x ₂) = 0,48; P (x ₃) = 0,36.

Запишем закон распределения составляющей X в форме таблицы:

X	x 1	x 2	x 3
P	0,16	0,48	0,36

Проверка: 0,16 + 0,48 + 0,36 = 1.

Сложив вероятности по строкам, получим вероятности возможных значений Y: P (y ₁) = 0,60; P (y ₂) = 0,40.

Запишем закон распределения составляющей Y в виде следующей таблицы:

Y	y 1	y 2
P	0,60	0,40

Проверка: 0,60 + 0,40 = 1.